单调算术电路

我们对通用算术电路的了解程度似乎与对布尔电路的了解相近，即我们没有良好的下界。另一方面，对于单调布尔电路，我们有指数大小的下界。

我们对单调算术电路了解多少？我们是否有类似的下限？如果不是，那么根本的区别是什么使我们无法获得单调算术电路的类似下限？

这个问题的灵感来自对此问题的评论。

单调算术电路的下界变得更容易，因为它们禁止取消。另一方面，即使允许任何单调实值函数作为门，我们也可以证明计算布尔函数的电路的指数下界（例如，参见本书第 9.6节）。$g:R\times R\to R$

$a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$$(+,\min)$$(+,\max)$。门然后对应于算法使用的子问题。Jerrum和Snir（在V Vinay的论文中）实际证明的是，任何用于最小权重完美匹配（以及TSP问题）的DP算法都必须产生成倍数量的子问题。但是，Perfect Mathching问题不是“ DP缺陷”的问题（它不满足Bellman的最优性原理）。线性编程（不是DP）更适合此问题。

那么，可以通过合理的小型DP算法解决的优化问题呢？我们还能证明它们的下界吗？在这方面，非常有趣的是Kerr的旧结果（他的博士学位论文定理6.1 ）。这意味着用于所有对最短路径问题（APSP）的经典Floyd-Warshall DP算法是最佳的：子问题是必需的。更有趣的是，克尔的论点非常简单（比Jerrum和Snir所使用的要简单得多）：它仅使用分布公理 ，以及通过将其自变量之一设置为来“杀死”最小门的可能性。这样，他证明了$\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$加门必须在半环上乘以两个矩阵。在宗派。由Aho，Hopcroft和Ullman 撰写的书中的5.9 表明，这个问题等同于APSP问题。$n\times n$$(+,\min)$

下一个问题可能是：单源最短路径（SSSP）问题如何？针对此（看似“简单”）问题的Bellman-Ford DP算法也使用门。这是最优的吗？到目前为止，这两个版本的最短路径问题之间尚无分隔。沿着这些思路，可以看到弗吉尼亚和瑞安·威廉姆斯的有趣论文。因此，SSSP的电路中的下界将是一个很好的结果。下一个问题可能是：背包的下限如何？在此草案中，在电路的较弱模型中证明了背包的下界，其中的用法$O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-门受到限制；附录中复制了Kerr的证明。

是。我们确实知道良好的下限，并且我们已经了解了很长时间了。

到1980年，Jerrum和Snir证明了该永久物的单调算术电路的指数下界。Valiant 表示，即使是一个减号门也具有指数级的强大功能。

有关（单调）算术电路的更多信息，请查看Shpilka 对算术电路的调查。

我知道的另一个结果是Arvind，Joglekar和Srinivasan提出的 -他们提出了可由线性大小的宽度单调算术电路计算的显式多项式，但是任何宽度单调算术电路都将采用指数大小。$2k$$k$

这算不算：Chazelle的半群下界，用于基本范围搜索问题（在脱机设置中）。所有下限几乎都是最佳的（当下限是多项式时最多为对数项，下限为多对数时最多为对数项）。