行列式和永久性的下界

鉴于最近在深度3处产生的鸿沟（除其他事项外，它针对的行列式产生了深度3算法电路），我有以下问题：格里戈里耶夫（Grigoriev）和卡尔平斯基（Karpinski）证明了在任何深度3算术电路中，在有限域上计算矩阵的行列式的下限为（我猜，也适用于永久）。用于计算永久性的Ryser公式给出了深度为3的算术电路，大小为 $2^{\sqrt{n}\log{n}}$ $n \times n$ $\mathbb{C}$ $2^{\Omega{(n)}}$ $n \times n$ $O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$ 。这表明对于有限域上的永久性深度3电路，结果基本上是紧密的。我有两个问题：

1）行列式有一个深度为3的公式，类似于永久性的Ryser公式？

2）计算行列式多项式\ textit {always}的算术电路大小的下界是否会产生永久多项式的下界？（在它们是相同的多项式）。 $\mathbb{F}_2$

尽管我目前的问题是关于有限域上的这些多项式，但我也想知道这些问题在任意域上的状态。

— 尼基尔
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这很有趣。...（eccc.hpi-web.de/report/2013/026）最近在复数上证明了上限。因此，特征零域和有限域在某种程度上存在巨大差异……

2^{O (n^{1 / 2} \log n})

$2^{O(n^{1/2}\log n})$

— 瑞安·威廉姆斯

我应该提到新的结果。我正在阅读本文，我想知道从有限域案例的已知结果中可以推断出什么。将更新问题包括论文。

— Nikhil

在特征为零的区域上的深度为3的电路的情况下，行列式/永久性是否存在类似/已知的下界？

— Gorav Jindal 2014年

由于Shpilka和Wigderson，对于特征对称零（以及行列式多项式），在特征零AFAIK上，最佳下界为。检查cs.technion.ac.il/~shpilka/publications/…–

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Nikhil

Answers:

在非特征2的任何域中，p投影下的VNP永久性是完整的。这为您的第二个问题提供了肯定的答案。如果这种减少是线性的，那么它将为您的第一个问题提供肯定的答案，但我相信这仍然是开放的。

更详细地讲：存在一些多项式，使得是的投影，即存在某种替代，将每个变量要么发送给变量或恒定，使得这种替换后永久被计算行列式。 $q(n)$ $det_n(X)$ $perm_{q(n)}(Y)$ $y_{ij}$ $x_{k\ell}$ $q(n) \times q(n)$ $n \times n$

1）因此，Ryser公式得出行列式大小为的深度3公式（在投影下深度不会增加，因为可以在输入门上进行替换。更新：由于@Ramprasad在评论中指出，这只是给一些平凡的，如果，因为有规模的琐碎深度2公式 $2^{O(q(n))}$ $q(n) = o(n \log n)$ $n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$ 为了我对Ramprasad的看法是，我所知道的最好的是通过ABP进行的减少，得出。 $q(n)=O(n^3)$

2）如果永久可被计算-再次，过的未2特性一些场-由尺寸的电路，然后行列式可通过尺寸的电路计算。所以较低的结合上的电路尺寸为产生一个下界上的电路尺寸的永久（即的 $m \times m$ $s(m)$ $n \times n$ $s(q(n))$ $b(n)$ $det_n$ $b(q^{-1}(n))$ 倒数，而不是）。上述产生了烫发从下界 DET下界。 $q$ $1/q(n)$ $q(n)=O(n^3)$ $b(n^{1/3})$ $b(n)$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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n!

$n!$

n \times n

$n\times n$

n^{2} \times n^{2}

$n^2\times n^2$

q (n) = O (n)

$q(n) = O(n)$

n!

$n!$ 以有限域的行列式而闻名。

— Ramprasad

D E T_{n}

$DET_n$

P E R M_{O (n)}

$PERM_{O(n)}$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n)

$O(n)$

n!

$n!$

让我们继续聊天中的讨论

— Ramprasad

行列式在某种程度上比永久性更难。它们都是多项式，永久物的Waring秩（线性形式的n次幂之和）大约为4 ^ n，Chow Rank（线性形式的乘积之和）大约为2 ^ n。显然，沃林排名\ leq 2 ^ {n-1}周排名。对于行列式，这些数字只是下限。另一方面，我在前段时间证明了行列式的Waring等级的上限是（n + 1）！这可能接近事实。

— 列昂尼德·古维斯（Leonid Gurvits）
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我删除了广告。

— Jeffε

您可以提供证明的参考吗？

— 卡夫