算术电路比布尔弱吗？

设表示计算给定的多项式多项式的（非单调）算术电路的最小大小并且表示计算布尔版本的（非单调）布尔电路的最小大小的由下式定义： $A(f)$ $(+,\times,-)$

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{e \in E} c_{e} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{e_{i}},

$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$

B (f)

$B(f)$

(\lor, \land, \neg)

$(\lor,\land,\neg)$

f_{b}

$f_b$

f

$f$

f_{b} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \underset{e \in E}{⋁} \underset{i : e_{i} \neq 0}{⋀} x_{i} .

$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$

小于多项式是否已知？ $f$ $B(f)$ $A(f)$

如果我们考虑电路的单调形式-没有负和没有非门-则甚至可以比指数减小：例如，以最短的st路径多项式为例在；那么和。但是在“非单调世界”中会发生什么呢？当然，不能仅仅因为我们在上没有较大的下界就知道大的缺口。但是，也许至少存在一些小差距？ $(-)$ $(\neg)$ $B(f)$ $A(f)$ $f$ $K_n$ $B(f)=O(n^3)$ $A(f)=2^{\Omega(n)}$ $A(f)$

注意（15.03.2016）在我的问题中，我没有指定允许多大的系数。伊戈尔谢尔盖耶夫记住我说，例如，下述的（单变量）多项式具有（斯特拉森和他的同伴们）。但是由于，因此该多项式的。我们可以得到氟利昂一个多元多项式的利用克罗内克替代使用变量。与每个指数关联单项式，其中

c_{e}

$c_e$

f (z) = \sum_{j = 1}^{m} 2^{2^{j m}} z^{j}

$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$

A (f) = Ω (m^{1 / 2})

$A(f)=\Omega(m^{1/2})$

B (f) = 0

$B(f)=0$

f_{b} (z) = z

$f_b(z)=z$

f

$f$

f^{'} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f'(x_1,\ldots,x_n)$

n = \log m

$n=\log m$

j

$j$

X_{j} = \prod_{i : a_{i} = 1} x_{i}

$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$

(a_{1}, \dots, a_{n})

$(a_1,\ldots,a_n)$ 是的二进制表示形式的0-1系数。则所需的多项式为，我们有但是的布尔形式只是变量的或，所以，我们甚至有指数级的差距。因此，如果系数的大小在变量的数量中可以是三倍指数的，则间隙可以显示为偶数指数。（实际上，不是幅度本身，而是系数的代数依赖性。）这就是为什么的真正问题是小情况

j

$j$

f^{'} = \sum_{j = 1}^{m} c_{j} X_{j}

$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$

A (f^{'}) + n \geq A (f) = Ω (m^{1 / 2}) = 2^{Ω (n)} .

$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$

f^{'}

$f'$

B (f^{'}) \leq n - 1

$B(f')\leq n-1$

n

$n$

A (f) / B (f)

$A(f)/B(f)$

A (f)

$A(f)$ 系数（理想情况下只有0-1）。但是在这种情况下，正如约书亚（Joshua）回忆，斯特拉森和鲍尔（系数为0-1）的下界）仍然是我们今天拥有的最好的。

A (f) = Ω (n \log n)

$A(f)=\Omega(n\log n)$

— Stasys
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永久物似乎至少有条件地合格（即，假设）。请注意，永久物的布尔形式仅用于确定给定的二部图是否具有完美匹配，该匹配具有多尺寸电路。 $\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

[总结以下评论：]尽管此示例是有条件的，但是由于仍然是一般代数电路中最广为人知的下界，因此目前只能无条件地期待对数差距。正如Stasys所指出的，此对数差距是通过函数（需要Baur-Strassen 要求大小为的代数电路）实现的，该函数被布尔化版本只是。 $\Omega(n \log n)$ $\sum_{i=1}^n x_i^n$ $\Omega(n \log n)$ $x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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约书亚：您是对的，永久性是一个（尽管有条件的）示例！好吧，我们不知道永久值A（f）的下限。但是，如果VP和VNP的无常数版本不同，那么我们就知道B（f）与A（f）的间隔，而不知道（实际）界限。

— Stasys

@Stasys：请注意，即使您所要求的“小间隙”也不太可能无条件知道，因为当前针对一般代数电路的最佳下限仅为！所以它可能是有下限的线性尺寸的布尔电路和准线性代数之间的差距，但没有强无条件地知道，这是一个真正的小的差距...

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

— 约书亚Grochow

在约书亚：对，再说一次。如果f是所有n个单个变量的n次幂的总和，则B（f）最多为n，Baur-Strassen显示A（f）至少是n的对数的n倍。这是最著名的A（f）。因此，对于我的问题，最大的已知显式差距确实仅是对数的。（除了一个问题：您知道为什么我的@总是在评论中消失吗？）

— Stasys

@Stasys：很好的例子。（回复：放在一边。我没有。我认为系统会自动推断出“ at-ed”对象是谁，如果您将消息定向到“默认人员”，则会将其删除。我认为。）

— 约书亚·格罗夫

对。帖子的作者总是收到新评论的通知，因此系统将多余的@通知删除。

— EmilJeřábek'16