仅具有一个阈值门的算术电路

当受限于 -输入，每 -电路计算一些函数。要获得布尔函数，我们只需添加一个fanin-1阈值门作为输出门即可。在输入，结果阈值 - 电路在输出，在输出 ; 阈值可以是任何正整数，可能取决于 $0$ $1$ $\{+,\times\}$ $F(x_1,\ldots,x_n)$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $a\in\{0,1\}^n$ $\{+,\times\}$ $1$ $F(a)\geq t$ $0$ $F(a)\leq t-1$ $t=t_n$ $n$ 但不适用于输入值。结果电路计算一些（单调）布尔函数。 $F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}$

问题：阈值 -circuits是否可以由 -circuits 有效地模拟？ $\{+,\times\}$ $\{\lor,\land\}$

在“有效”下，我的意思是“大小最多增加多项式”。对于阈值，答案是明确的“是” ：只需将替换为，将替换为，然后删除最后一个阈值门。也就是说，电路实际上是阈值电路。但是，较大的阈值，例如呢？ $t=1$ $+$ $\lor$ $\times$ $\land$ $\{\lor,\land\}$ $1$ $\{+,\times\}$ $t=2$

只需使用代替OR，代替AND和代替，就可以定义大多数布尔电路类的算术类似物。例如，电路是 -深度恒定的电路，具有无限扇入度fanin和门，并输入和。 Agrawal，Allender和Datta已显示阈值 =。（回想一下本身就是一个适当的 $\#C$ $C$ $+$ $\times$ $1-x_i$ $\bar{x}_i$ $\#AC^0$ $\{+,\times\}$ $+$ $\times$ $x_i$ $1-x_i$ $\#AC^0$ $TC^0$ $AC^0$ 子集；换句话说，通过仅一个阈值门的恒定深度电路就可以有效地模拟恒定深度阈值电路！但是请注意，我的问题是关于单调电路（没有减号“ ”作为门，甚至没有作为输入）。那么（最后一个）门槛也能如此强大吗？我不知道这些东西，因此欢迎任何相关的指针。 $TC^0$ $\{+,-,\times\}$ $-$ $1-x_i$

注意：由于Arnold Rosenbloom，还有另一个有趣的相关结果：仅具有一个单调函数作为输出门可以用门计算每个切片函数。限幅函数是单调布尔函数，对于某些固定，其所有输入上的输出（分别为）比的少（等于）。另一方面，容易计数表明大多数切片函数需要指数大小的通用电路。因此，一个“无害的”附加输出门可以 $\{+,\times\}$ $g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}$ $O(n)$ $k$ $0$ $1$ $k$ $\{\lor,\land,\neg\}$ 使单调电路无所不能！我的问题是，当是fanin-阈值门时，是否也会发生这种情况。 $g:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ $1$

现实化（增加2014年11月3日）：周华健耶扎贝克显示（通过一个非常简单结构，见下面他的答案），答案是“是”，只要为一个常数。因此，该问题仅对超多项式（）阈值开放。

t \leq n^{c}

$t\leq n^c$

c

$c$

n

$n$

通常，在应用程序中，只有大的阈值才起作用：对于我们通常需要形式为阈值。比方说，如果计数的数目 -中由指定的图形的路径 -输入，则对于在，的阈值版本解决了 -vertex图上哈密顿量 -路径问题的存在（例如，参见此处）。 $2^{n^{\epsilon}}$ $\epsilon > 0$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $s$ $t$ $0$ $1$ $t=m^{m^2}$ $m\approx n^{1/3}$ $t$ $F$ $s$ $t$ $m$

（新增2014年11月14日）：由于Emil回答了我的大部分问题，并且由于看不到指数阈值的情况，所以我现在接受这个Emil的回答（非常好）。

circuit-complexity arithmetic-circuits cc-complexity-theory

— Stasys
source

等等...指数大小？我认为您可以使用布尔门实现多项式大小的切片函数，这只是必须是指数大小的公式（不能多次使用中间结果）。

— Zsbán安布鲁斯

@ZsbánAmbrus：最多有

大小为

电路，但对于

，已经至少有

不同的

切片函数；a，b正常数。

S^{a S}

$S^{aS}$

S

$S$

2^{2^{b n}}

$2^{2^{bn}}$

k

$k$

k = n / 2

$k=n/2$

— Stasys 2014年

2^{n^{c}}

$2^{n^c}$

({0, \dots, t}, min {x + y, t}, min {x y, t})

$(\{0,\dots,t\},\min\{x+y,t\},\min\{xy,t\})$

您直接获得电路。将每个节点替换为节点，其中计算布尔谓词。（您不需要因为它会计算常数，但是它简化了下面的表达式。）在此表示中，和可以由大小为电路模拟：例如，如果，则。

\land, \lor

$\land,\lor$

c

$c$

t + 1

$t+1$

c_{0}, \dots, c_{t}

$c_0,\dots,c_t$

c_{i}

$c_i$

c \geq i

$c\ge i$

c_{0}

$c_0$

1

$1$

+

$+$

\cdot

$\cdot$

{\land, \lor}

$\{\land,\lor\}$

O (t^{2})

$O(t^2)$

c = a + b

$c=a+b$

c_{i} = \underset{j + k \geq i}{⋁} (a_{j} \land b_{k})

$c_i=\bigvee_{j+k\ge i}(a_j\land b_k)$

— EmilJeřábek支持Monica

@EmilJeřábek：非常好！我现在在此添加评论。实际上，可能值得将此评论作为答案：多项式阈值情况也不是很清楚（至少对我而言）。

— Stasys 2014年

如果，答案是“是” 。更一般地，具有阈值的大小为的阈值电路可以通过大小为的电路来模拟。 $t=n^{O(1)}$ $\{+,\cdot\}$ $s$ $t$ $\{\lor,\land\}$ $O(t^2s)$

首先，注意用截断的加法和乘法来评估的电路就足够了：特别是，如果，则，也可以是，或者。 $\{0,\dots,t\}$ $a,a'\ge t$ $a+b,a'+b\ge t$ $ab,a'b\ge t$ $ab=a'b(=0)$

考虑到这一点，我们可以通过将每个节点替换为节点来模拟具有布尔单调电路的电路，其中旨在计算谓词。（为了表示方便，我们只需要计算常数函数。）如果是布尔输入变量，则取，。如果是加法门，则说 $c$ $c_0,\dots,c_t$ $c_i$ $c\ge i$ $c_0$ $1$ $c$ $x$ $c_1=x$ $c_2=\dots=c_t=0$ $c$ ，我们实现它经由乘法门的处理方式相同。 $c=a+b$

c_{i} = \underset{\begin{matrix} j, k \leq t \\ j + k \geq i \end{matrix}}{⋁} (a_{j} \land b_{k}) .

$c_i=\bigvee_{\substack{j,k\le t\\j+k\ge i}}(a_j\land b_k).$

原始电路的每一个栅极需要个栅极。作为次要优化，我们可以通过将为 $O(t^3)$ $O(t^2)$ 使得每个被用作只中的一个的输入栅极。

\begin{aligned} c_{t} & = \underset{j + k \geq t}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), \\ c_{i} & = c_{i + 1} \lor \underset{j + k = i}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), i < t, \end{aligned}

$\begin{align*} c_t&=\bigvee_{j+k\ge t}(a_j\land b_k),\\ c_i&=c_{i+1}\lor\bigvee_{j+k=i}(a_j\land b_k),\qquad i<t, \end{align*}$

a_{j} \land b_{k}

$a_j\land b_k$

c_{i}

$c_i$

— EmilJeřábek支持Monica
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