Questions tagged «max-cut»

对于图形,最大切割是尺寸至少为任何其他切割的尺寸的切割。在图中找到最大割的问题称为最大割问题。

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负切边最大切割
G=(V,E,w)G=(V,E,w)G = (V, E, w)w:E→Rw:E→Rw:E\rightarrow \mathbb{R}argmaxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)arg⁡maxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)Ë ∈ Ëw(e)≥0w(e)≥0w(e) \geq 0e∈Ee∈Ee \in E 挑选顶点的随机子集。SSS 在顶点上选择一个顺序,然后贪婪地将每个顶点放置在或以最大化到目前为止切割的边小号ˉ 小号vvvSSSS¯S¯\bar{S} 进行局部改进:如果SSS中有任何顶点可以移动到S¯S¯\bar{S}以增加切割(反之亦然),则进行移动。 对所有这些算法的标准分析实际上表明,所得的割幅至少与\ frac {1} {2} \ sum_ {e \ in E} w(e)一样大12∑e∈Ew(e)12∑e∈Ew(e)\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e),这是1/2的上限1/21/21/2如果www为非负数,则最大切割的权重-但是如果允许某些边缘具有负权重,则不是! 例如,算法1(选择顶点的随机子集)在带有负边权重的图上显然会失败。 我的问题是: 是否有一种简单的组合算法,可以对可具有负边权重的图的最大割问题得到O(1)近似值? 为了避免最大割取值0的可能发粘的问题000,我将允许∑e∈Ew(e)>0∑e∈Ew(e)>0\sum_{e \in E}w(e) > 0,并且/或者除可导致较小附加误差的算法外,还应予以满足乘法因子近似。

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Max-Cut算法不起作用,不清楚原因
好的,从某种意义上讲,这似乎是一个作业问题。作为本科算法课的一项家庭作业,我讲了以下经典著作: 给定一个无向图,给出一种算法,该算法可以找到一个切口使得,其中是穿过切口的边数。时间复杂度必须为。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)(S,S¯)(S,S¯)(S,\bar{S})δ(S,S¯)≥|E|/2δ(S,S¯)≥|E|/2\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2δ(S,S¯)δ(S,S¯)\delta(S,\bar{S})O(V+E)O(V+E)O(V+E) 由于某种原因,我得到了很多以下解决方案。现在,它确实花费了太多时间,所以这不是分级的问题,但是我感到很好奇。它“似乎”不正确,但是我所有的反例尝试都失败了。这里是: 设置S←∅S←∅S\leftarrow \emptyset 设为图中的最大度顶点vvv 将加到vvvSSS 删除与相邻的所有边vvv 如果返回2δ(S,S¯)&lt;|E|/2δ(S,S¯)&lt;|E|/2\delta(S,\bar{S}) < |E|/2 请注意,步骤5 中的是指原始图形。还要注意,如果我们跳过了步骤4,这显然是错误的(例如,一个三角形的两个独立边的并集)。EEE 现在,任何简单的证明都有以下​​问题-可能是,当我们添加新的顶点,实际上删除了在添加新边(其中指删除边的图形同时,从切割中切入边。问题是,如果这不利于我们的原因,则意味着“用于” 该顶点程度更高,因此“应该”被更早地选择。vvv|S||S||S|d(v)d(v)d(v)d(v)d(v)d(v)vvv 这是众所周知的算法吗?是否有一些简单的反例?

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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数?
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数?换句话说,将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational? 我猜测这是不可能的,并且这在某种程度上与以下事实有关:无法测试两个数字是否相等,但是我看不出如何证明这一点。 编辑:可计算的数字xxx由函数给出,该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值:| x − f x(ϵ )| ≤ ε,对于任何ε &gt; 0。鉴于这样的功能,就是可以测试,如果X ∈ Q或X ∈ ž?xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

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低尺寸的欧几里德平方最大割
令x1,…,xnx1,…,xnx_1, \ldots, x_n为平面R2R2\mathbb{R}^2。考虑一个完整的图,以点为顶点,边权重为∥xi−xj∥2‖xi−xj‖2\|x_i - x_j\|^2。您是否总能找到至少减少2的体重2323\frac 2 3总重量的 3?如果不是,则哪个常数应替换2323\frac 2 3? 我能找到的最糟糕的例子是等边三角形上的3个点,该点达到了2323\frac 2 3。请注意,随机分割会产生1212\frac 1 2,但从直觉上看,很明显,在低维度上,人们可以比随机地更好地聚集。 对于k&gt; 2的max-k-cut会发生什么?尺寸d&gt; 2怎么样?是否有回答此类问题的框架?我知道Cheeger的不等式,但是这些不等式适用于最稀疏的切割(而不是最大切割),并且仅适用于规则图。 (问题的灵感来自计算机图形中的光源聚类问题,以最大程度地减少方差)。

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多切问题
我正在寻找名称或任何对此问题的引用。 给定加权图G = (V,E,w )G=(V,E,w)G = (V, E, w)找到顶点的一个划分,直至n = | V|n=|V|n = |V|套小号1个,… ,SñS1,…,SnS_1,\ldots,S_n以便最大化切割边缘的值: Ç (小号1个,… ,Sñ)= ∑i ≠ j⎛⎝∑(ü ,v )∈ Ë:ü ∈ 小号一世,v ∈ 小号Ĵw (u ,v )⎞⎠c(S1,…,Sn)=∑i≠j(∑(u,v)∈E:u∈Si,v∈Sjw(u,v))c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right) 请注意,一些套小号一世SiS_i可以为空。因此,问题本质上是最大k割,除了ķkk不是输入的一部分:算法可以选择它喜欢的任何ķkk以便最大化割边的值。显然,如果边缘权重为非负数,问题将变得微不足道:只需将每个顶点单独放置在自己的集合中,然后剪切所有边缘即可。但是,为了使事情变得有趣,允许负负边缘。 这是一个研究的问题吗?参考算法或硬度结果将不胜感激!


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-nets相对于所述切割模
实矩阵的割范数是所有的最大值数量的。||A||C||A||C||A||_CA=(ai,j)∈Rn×nA=(ai,j)∈Rn×nA = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}I⊆[n],J⊆[n]I⊆[n],J⊆[n]I \subseteq [n], J \subseteq [n]∣∣∑i∈I,j∈Jai,j∣∣|∑i∈I,j∈Jai,j|\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right| 将两个矩阵和之间的距离定义为AAABBBdC(A,B)=||A−B||CdC(A,B)=||A−B||Cd_C(A,B) = ||A-B||_C 度量空间的最小 -net多少?([ 0 ,1 ] Ñ × Ñ,d Ç)ϵϵ\epsilon([0,1]n×n,dC)([0,1]n×n,dC)([0,1]^{n\times n}, d_C) 即最小子集,使得对于所有,存在一个这样。 甲∈ [ 0 ,1 ] Ñ × Ñ甲' ∈ 小号d Ç(甲,甲')≤ εS⊂[0,1]n×nS⊂[0,1]n×nS \subset [0,1]^{n\times n}A∈[0,1]n×nA∈[0,1]n×nA \in [0,1]^{n\times n}A′∈SA′∈SA' \in …

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从唯一标签覆盖物减少到Max-Cut的纯图形理论解释
我正在研究独特游戏猜想和著名的Khot等人的Max-Cut简化。从他们的论文以及互联网上的其他地方,大多数作者都使用(对我来说是)MAX-CUT缩减与构建长代码特定测试之间的隐式等效。由于我自己对这种等效性缺乏明确性,因此我努力遵循这种思路。 从这些论述中也可以清楚地看出,人们可以纯粹用图表来描述减少量,但是通过巧合或偏好,没有人选择这样做。例如,在O'Donnell的这些演讲笔记中,他暗示长代码测试对应于所构造图形中边缘的自然定义,但由于未明确指出,该规则似乎取决于切割的选择定义要测试的布尔函数,这让我很困惑。 因此,我要求有人从理论上解释简化的“正好”图。我认为这将有助于我理解两种观点之间的对等。

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Max-Cut APX在无三角形图中是否完整?
在Max-Cut问题中,人们寻找给定简单无向图的顶点的子集S,以使S和S的补数之间的边数尽可能大。 Max-Cut在有界度图[PY91]上是APX完整的,实际上在三次图(即3度图)上是APX完整的[AK00]。 Max-Cut在最大度为3 [LY80]的无三角形图中是NP完全的(无三角形表示输入图不包含K_3,即在3个顶点上的完整图作为子图)。 问题: Max-Cut APX在无三角形图中是否完整?(注:允许任意度数) 谢谢。 更新:已经找到答案,但是如果有的话,我仍然会对此结果感兴趣。 参考文献: [AK00] P. Alimonti和V. Kann:三次图的一些APX完整性结果。理论。计算 科学 237(1-2):123-134,2000. doi:10.1016 / S0304-3975(98)00158-3 [LY80] JM Lewis和M. Yannakakis:遗传属性的节点删除问题是NP完全。J.计算机 Syst。科学 20(2):219-230,1980. doi:10.1016 / 0022-0000(80)90060-4 [PY91] CH Papadimitriou和M. Yannakakis:最优化,近似和复杂度类,J。Comput。系统科学,43(3):425-440,1991. doi:10.1016 / 0022-0000(91)90023-X
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