-nets相对于所述切割模

实矩阵的割范数是所有的最大值数量的。$||A||_C$$A = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}$$I \subseteq [n], J \subseteq [n]$$\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right|$

将两个矩阵和之间的距离定义为$A$$B$$d_C(A,B) = ||A-B||_C$

度量空间的最小 -net多少？（[ 0 ，1 ] Ñ × Ñ，d Ç$\epsilon$$([0,1]^{n\times n}, d_C)$

即最小子集，使得对于所有，存在一个这样。 甲∈ [ 0 ，1 ] Ñ × Ñ甲' ∈ 小号d Ç（甲，甲'）≤ $S \subset [0,1]^{n\times n}$$A \in [0,1]^{n\times n}$$A' \in S$$d_C(A, A') \leq \epsilon$

（编辑：我忘了提及，但我也对带有 “非正确” -nets 感兴趣-即，如果 -net的条目[0,1]之外，这也很有趣。）小号⊂ ř Ñ × Ñ +$\epsilon$$S \subset \mathcal{R}_+^{n\times n}$$\epsilon$

我对上限和下限都感兴趣。

请注意，稀疏稀疏化技术暗示了 -nets可以用于削减指标，但是却提供了比我需要的强大的东西-它们提供了 -net，您可以通过简单地从中采样来有效地找到任何矩阵的 -close点矩阵。可能会想到存在一个更小的 -net，您不能简单地对其进行采样就找到了指向任意矩阵的 -close点。ε ε ε $\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$

我最初问这个问题在这里上mathoverflow。

这是一个简单的估计。这里我们称之为一组小号 ⊆ X的ε -net度量空间的X时为每一个点X ∈ X，存在一个点小号 ∈ š使得之间的距离X和š是至多 ε。如果要在ε- net 的定义中使用严格的不等式，可以稍微调整ε的值。

它认为|| A || _∞≤ || A || _Ç ≤ Ñ ² || A || _∞，其中|| A || _∞表示n × n矩阵A的入口最大范数。

这是很容易构建一个ε度量空间的-net（[0,1] ^Ñ，d _∞）与大小⌈1/（2 ε）⌉ ^Ñ，这是不难证明，该大小是最小的。（要显示极小，考虑⌈1/（2 ε）⌉ ^Ñ点坐标为1 /⌈1/（2的倍数ε）-1⌉和显示，这些点中的任意两者之间的距离是大于2 ε。）通过设置N = n ²并将其与上述割范数与最大范数之间的比较相结合，可以得出ε的最小基数-net相对于所述切割范数是至少⌈1/（2 ε）⌉ ^{Ñ 2}和至多⌈ Ñ ² /（2 ε）⌉ ^{Ñ 2}。

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更新：如果我的计算正确，则可以通过volume参数获得更好的下限Ω（n / ε）^{n 2}。为此，我们需要相对于切入范数的ε球体积的上限。

首先，我们考虑单个向量的“割范数”，它是正元素之和与负元素之和之和之间的最大值。不难证明一个的体积ε -ball在ℝ ^Ñ相对于该“切规范”等于

$$\varepsilon^n \sum_{I \subseteq \{1,\dotsc,n\}} \frac{1}{|I|!} \cdot \frac{1}{(n-|I|)!} = \varepsilon^n \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \frac{1}{r!(n-r)!}$$

$$= \frac{\varepsilon^n}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 = \frac{\varepsilon^n}{n!} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!\varepsilon^n}{(n!)^3}.$$

接着，由于一个的切割模Ñ × Ñ矩阵甲大于或等于每行的切规范，一个的体积ε -ball在ℝ ^{Ñ × Ñ}至多为Ñ的体积的次方ε -ball在ℝ ^ñ。因此，[0,1] ^{n × n}的ε- net 的大小必须至少为

$$\frac{(n!)^{3n}}{(2n)!^n \varepsilon^{n^2}} = \left(\Omega\left(\frac{n}{\varepsilon}\right)\right)^{n^2},$$

最后的等式是无聊的计算，我们使用斯特林公式：ln n！= n ln n - n + O（log n）。