让我看看是否可以从较高的角度进行澄清。假设UG实例是二部图G=（V∪w ^，Ë）G=(V∪W,E)，双射 {πË}Ë∈Ë{πe}e∈E，在哪里 πË：Σ→Σπe:Σ→Σ和 |Σ|=米|Σ|=m。您想构造一个新图HH 因此，如果UG实例是 1个-δ1−δ 可以满足的话 HH 有很大的收获，如果UG实例甚至没有 δδ-满意，然后 HH 只有很小的削减。
图 HH 包含，对于中的每个顶点 w ^W， 2米2m 点，每个点都有一些标记 X∈{-1个，1个}Σx∈{−1,1}Σ。目的是您应该能够解释标签的长代码编码w ^W 作为削减 HH。回想一下编码σ∈Σσ∈Σ 使用长代码，您可以使用布尔函数 F：{-1个，1个}Σ→{-1个，1个}f:{−1,1}Σ→{−1,1}; 特别是独裁者功能F（X）=Xσf(x)=xσ。让我们切小号∪ŤS∪T从长代码编码（例如，顶点的两部分）如下。如果w∈w ^w∈W 具有由布尔函数编码的标签 Ff，进入顶点云 HH 对应于 ww，并放入 小号S 云中所有由某些标记的顶点 Xx 为此 F（X）=1个f(x)=1。所有其他人去ŤT。您可以向后执行此操作以将布尔函数分配给所有w∈w ^w∈W 根据削减 HH。
为了减少工作，你需要能够告诉只是看着切的价值小号∪ŤS∪T 对应于cut的布尔函数是否接近将标签分配给 w ^W 满足很多UG约束 GG。所以问题是，我们可以从切割的价值中获得什么信息小号∪ŤS∪T。考虑任意两个顶点一个a 带标签 Xx 在云中对应 ww 和 bb 带标签 ÿy 在云中对应 w′w′ （在还原中，我们只看 ww， w′w′在不同的云中）。我们说过cut可以用来导出布尔函数Fwfw 和 Fw′fw′。现在如果有优势（一个，b）(a,b) 在 HH， 然后 （一个，b）(a,b) 仅当且仅当 Fw（X）≠Fw′（ÿ）fw(x)≠fw′(y)。因此，仅使用cut的值来判断其引发的布尔函数是否为“好”，这与在给定布尔函数的情况下进行的测试相同{Fw}w∈w ^{fw}w∈W，仅询问某些指定对列表中的哪一部分 （（w，X），（w′，ÿ））((w,x),(w′,y)) 我们有 Fw（X）≠Fw′（ÿ）fw(x)≠fw′(y)。
换句话说，只要瑞安在笔记中说“测试是否 Fw（X）≠Fw′（ÿ）fw(x)≠fw′(y)他的真正意思是 HH，在云的顶点之间添加一条边 ww 标有 Xx 和云的顶点 w′w′ 标有 ÿy“。就是每个 v∈Vv∈V，它的每两个邻居 w，w′w,w′，以及 X，ÿ∈{-1个，1个}ñx,y∈{−1,1}n，包括云的顶点之间的边缘 ww 标有 X∘πv，wx∘πv,w 和云的顶点 w′w′ 标有 ÿ∘πv，w′y∘πv,w′，并分配边缘权重 （（1个-ρ）/2）d（（1个+ρ）/2）ñ-d((1−ρ)/2)d((1+ρ)/2)n−d 哪里 dd 是之间的汉明距离 Xx 和 ÿy。这样，切割值除以总边缘权重就等于测试成功的概率。