Max-Cut算法不起作用，不清楚原因

好的，从某种意义上讲，这似乎是一个作业问题。作为本科算法课的一项家庭作业，我讲了以下经典著作：

给定一个无向图，给出一种算法，该算法可以找到一个切口使得，其中是穿过切口的边数。时间复杂度必须为。$G=(V,E)$$(S,\bar{S})$$\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2$$\delta(S,\bar{S})$$O(V+E)$

由于某种原因，我得到了很多以下解决方案。现在，它确实花费了太多时间，所以这不是分级的问题，但是我感到很好奇。它“似乎”不正确，但是我所有的反例尝试都失败了。这里是：

1. 设置$S\leftarrow \emptyset$
2. 设为图中的最大度顶点$v$
3. 将加到$v$$S$
4. 删除与相邻的所有边$v$
5. 如果返回2$\delta(S,\bar{S}) < |E|/2$

请注意，步骤5 中的是指原始图形。还要注意，如果我们跳过了步骤4，这显然是错误的（例如，一个三角形的两个独立边的并集）。$E$

现在，任何简单的证明都有以下​​问题-可能是，当我们添加新的顶点，实际上删除了在添加新边（其中指删除边的图形同时，从切割中切入边。问题是，如果这不利于我们的原因，则意味着“用于” 该顶点程度更高，因此“应该”被更早地选择。$v$$|S|$$d(v)$$d(v)$$v$

这是众所周知的算法吗？是否有一些简单的反例？

^{我先前对并未考虑图形中已经存在的大小为的剪切。以下构造似乎导致了分数凭经验-我在math.stackexchange.com上创建了一个问题，以进行严格证明）。 Ñ2/4ø（$\frac{2}{c+6}$$n^2/4$$O\left(\frac{1}{\log c}\right)$}

该算法在几个断开连接，大小不同的完整图的并集上表现不佳。我们将个顶点上的完整图表示为。考虑算法在上的行为：它反复向中添加尚未存在的任意顶点-所有这些顶点都是相同的，因此顺序无关紧要。通过算法设置尚未添加到的顶点数，切割的大小为。ķ ñ ķ ñ小号小号小号| ˉ 小号 | = k k （n − k $n$$K_n$$K_n$$S$$S$$S$$|\bar{S}| = k$$k (n-k)$

考虑一下，如果我们在常数介于0和1之间的几个断开的图上运行该算法，会发生什么情况。如果是第个完整图中中尚未存在的元素数，则该算法将反复添加一个从具有最高的完整图到顶点，任意打破联系。这将导致对基于“舍入”的顶点加法：该算法从具有最高所有完整图添加顶点，然后从具有所有完整图添加顶点（具有 x i k i S i S k i S k = k i k i = k − 1 k i$K_{x_i n}$$x_i$$k_i$$S$$i$$S$$k_i$$S$$k = k_i$$k_i=k-1$$k_i$在上一轮之后更新），依此类推。完整图形在一个回合中将顶点添加到后，此后将在每个回合中这样做。$S$

令为完整图的数量。令与为第个完整图形的大小修饰符。我们将这些大小修饰符从大到小排序，并设置。现在我们得到的结论是，如果存在图，其中恰好还有元素尚未添加到，那么当时的切口大小为。边的总数为。0 < X 我 ≤ 1 0 ≤ 我≤ Ç - 1 我X 0 = 1 c ^ ' ķ 小号Σ Ç ' - 1 我= 0 ķ （X 我 ñ - ķ ）= ķ Ñ Σ Ç ' - 1 我= 0（X 我）- c ^ ' ķ 2 | $c$$0 < x_i \leq 1$$0 \leq i \leq c - 1$$i$$x_0 = 1$$c'$$k$$S$$\sum_{i=0}^{c'-1} k (x_i n - k) = k n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - c' k^2$$|E| = \sum_{i=0}^{c-1} \frac{x_i n (x_i n - 1)}{2} \approx \frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} x_i^2$

需要注意的是是在二次函数并因此具有最大。因此，我们将有几个局部最大切割。例如，如果我们的最大切点为，大小为。我们将选择以使，这意味着第二个完整图将不会更改时该局部最大割的大小。然后我们在处获得一个新的局部最大割，因此我们选择（带有 ķ c ^ = 1 ķ = $k n \sum_{i=0}^{c'-1} x_i - c' k^2$$k$$c=1$ n$k=\frac{n}{2}$ X1X1=1/2-εķ=$\frac{n^2}{4}$$x_1$$x_1 = 1/2 - \varepsilon$ ķ=3/8ñ-ε'X2=3/8Ñ-ε“ε，ε'，ε”εX1=1/2X1Ñ=$k=\frac{n}{2}$$k=3/8 n - \varepsilon'$$x_2 = 3/8 n - \varepsilon''$$\varepsilon, \varepsilon', \varepsilon''$小常数）。我们将忽略 S为时刻，只是假设，我们可以挑选 -我们应该确保，但这不会影响最终的结果，如果是足够大。$\varepsilon$$x_1 = 1/2$$x_1 n = \frac{n}{2} - 1$$n$

我们希望找到我们削减的局部最大值。我们将为，得到。等于得出，其大小为。 ķ Ñ Σ Ç ' - 1 我= 0（X 我）- 2 ç ' ķ 0 ķ = $k n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - c' k^2$$k$$n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - 2 c' k$$0$Ñ$k = \frac{n}{2c'} \sum_{i=0}^{c'-1} x_i$$\frac{n^2}{4c'} \left(\sum_{i=0}^{c'-1} x_i\right)^2$

如果则令为上一段中确定的。我们将通过要求来确保公式成立- 然后，具有所有完整图均小于该局部最大割的，因此不会增加割的大小。这意味着我们在这些处有切口，大于该算法找到的所有其他切口。 ķ Ç ' = 我X 我 Ñ < ķ 我我' 我' > 我ķ 我 Ç ķ $k_i$$k$$c'=i$$x_i n < k_i$$i'$$i'>i$$k_i$$c$$k_i$

填充，我们得到的递归（加上一些小）。解决这个问题得到：请参阅我在math.stackexchange.com上提问的@Daniel Fisher的推导。将其插入并利用我们对递归的了解，我们可以削减尺寸。利用这个中心二项式系数的性质，我们有x i = $x_i n < k_i$εX0=$x_i = \frac{1}{2c'} \sum_{i=0}^{c'-1} x_i$$\varepsilon$$x_0 = 1$$x_i = \frac{\binom{2i}{i}}{4^i}$$\frac{n^2}{4c'} \left(\sum_{i=0}^{c'-1} x_i\right)^2$$\frac{n^2}{4c'} \left(2c' \frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2 = n^2 c' \left(\frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2$$\lim_{c' \to \infty} c' \left(\frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2 = \frac{1}{\pi}$（另请参阅我在math.stackexchange.com上的问题）。

边的数量大约为。通过已知属性，我们具有。提交至少得出是渐近作为前进到无限。$\frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} x_i^2 = \frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} \left(\frac{\binom{2i}{i}}{4^i}\right)^2$$\frac{1}{\sqrt{4i}} \leq \frac{\binom{2i}{i}}{4^i}$$\frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} \left(\frac{1}{\sqrt{4i}}\right)^2 = \frac{n^2}{8} \sum_{i=0}^{c-1} \frac{1}{i}$$\frac{n^2}{8} \log c$$c$

因此随着趋于无穷大，我们有渐近等于，这表明算法可以任意低的收益削减 。$\frac{\delta(S, \bar{S})}{|E|}$$\frac{8}{\pi \log c}$$c$$|E|$

经过一段时间的思考和询问，下面是一个反例，由Ami Paz提供：

令为偶数，为图，它是与个顶点的匹配（即与边的匹配）的并集。$n$$G$$K_n$$n+2$$n/2+1$

该算法如何在该图上运行？它只是以任意顺序从团部获取顶点。从集团提取个顶点后，切割的大小为。对于，这是最大的，它给出的大小为，而图中的边数为。$k$$k\cdot (n-k)$$k=n/2$$\frac{n^2}{4}$$\frac{n^2}{2}+1$

所规定的算法将继续从集团中添加顶点，减少穿过切割的边的数量，直到集团中剩下的只是一条边。在这一点上，它无法获得比更好的东西。$\frac{n}{2}+2$