多切问题

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我正在寻找名称或任何对此问题的引用。

给定加权图 $G = (V, E, w)$ 找到顶点的一个划分，直至 $n = |V|$ 套 $S_1,\ldots,S_n$ 以便最大化切割边缘的值：

c (S_{1}, \dots, S_{n}) = \sum_{i \neq j} (\sum_{(u, v) \in E : u \in S_{i}, v \in S_{j}} w (u, v))

$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$ 请注意，一些套

S_{i}

$S_i$ 可以为空。因此，问题本质上是最大k割，除了

k

$k$ 不是输入的一部分：算法可以选择它喜欢的任何

k

$k$ 以便最大化割边的值。显然，如果边缘权重为非负数，问题将变得微不足道：只需将每个顶点单独放置在自己的集合中，然后剪切所有边缘即可。但是，为了使事情变得有趣，允许负负边缘。

这是一个研究的问题吗？参考算法或硬度结果将不胜感激！

— 亚伦·罗斯
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为了更直观地了解问题，您对简单的特殊情况了解多少？例如，如果权重是什么只是

或

？如果

是一个完整的图且权重为

怎么办？

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

G

$G$

\pm 1

$\pm 1$

— Jukka Suomela 2010年

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问题是相关聚类（CC）Bansal，N.，Blum。A.和Chawla，S.（2004）的变体。“相关性聚类”。机器学习期刊（关于数据聚类的理论进展的特刊，第pp。86–113页，doi：10.1023 / B：MACH.0000033116.57574.95。

原始CC公式位于完整图并且对于每个边我们都有两个权重：和。给定一个分区，如果和在和的同一簇，则令等于 $G$ $(v,w)$ $a(v,w)$ $b(v,w)$ $P$ $c_P(v,w)$ $a(v,w)$ $v$ $w$ $P$ 否则。那么，的分区的值为。 $b(v,w)$ $P$ $V$ $\sum_{v,w} c(v,w)$

您的问题等效于所有v，w的并允许负（原始纸张仅允许+ 1，-1权重）。论文Erik D. Demaine，Dotan Emanuel，Amos Fiat，Nicole Immorlica：一般加权图中的相关性聚类。理论。计算科学 361（2-3）：172-187（2006）http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2006.05.008给出了一般（即不完整）图的逼近算法。我相信它也可以扩展到您的问题，并且我不排除恒定因子近似值。 $a(v,w)=0$ $b(v,w)$ $O(\log n)$

所描述的PTAS基于平滑多项式编程技术：在最一般的情况下，我认为您的问题不会满足该技术的要求。

— 詹卢卡·德拉·维多娃（Gianluca Della Vedova）
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我不知道任何参考文献，但可以通过减少图形着色来证明它是NP完全的。

给定一个图G和用于给G上色的数量为k的颜色，制作一个新图G'，它由G和k个新顶点组成，这样每个新顶点都连接到G中的每个顶点。 G的每个边，将连接k个新顶点中的两个的每个边的权重+ kn，将k个新顶点连接到G的每个边的权重-1。

然后，如果G可以是k色的，则着色（连同将每个新顶点分配给一个颜色类别的分区一起）将获得总权重kn（m + k（k-1）/ 2）-（k -1）n。

另一方面，如果您有一个分区可以达到此总权重，则它必须剪切G的所有边缘以及成对的新顶点之间的所有边缘。切割G的所有边缘将定义G的颜色，并且在成对的新顶点之间切割边缘意味着G的每个顶点最多可以与k个新顶点中的一个相邻。因此，为了获得权重中的最佳-（k-1）n项，G的每个顶点必须与新顶点中的一个恰好相邻，因此，在由G定义的着色中只能有k个颜色类别。划分。

也就是说，具有给定权重界限的分区与G的k色成1-1对应，因此这定义了从着色到分区问题的减少。

— 大卫·埃普斯坦
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让我通过添加Jukka在对该问题的评论中提出的特殊情况的引用来补充David的漂亮的NP完整性证明。如果该图是完整图并且边权重限制为±1，则该问题等效于称为簇编辑的NP完全问题。

群集编辑是Shamir，Sharan和Tsur [SST04]引入的以下问题。这里，簇图是顶点不相交的团的并集的图，编辑是一个边的增加或去除。

集群编辑
实例：图形ģ =（V，ê）和一个整数ķ ∈ℕ。
问题：最多可以通过k次编辑将G变成聚类图吗？

集群编辑完成了NP [SST04]。

要查看“群集编辑”等效于当前问题的上述特殊情况，请让G =（V，E）为图。令n = | V | 并将G视为完整图K _n的子图。在K _n中，将权重-1赋给G中的边，将权重+1赋给不在G中的边。然后，当且仅当存在一个分区（S ₁，…，S _n）使得c（S ₁，…，...）时，G最多可以通过k次编辑变成簇图。 $\binom{n}{2}$

[SST04] Ron Shamir，Roded Sharan和Dekel Tsur。聚类图修改问题。 离散的应用数学，144（1-2）：173-182，2004.十一月 http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007

— 伊藤刚
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