负切边最大切割

$G = (V, E, w)$ $w:E\rightarrow \mathbb{R}$

\arg max_{S \subset V} \sum_{(u, v) \in E : u \in S, v \notin S} w (u, v)

$\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)$

w (e) \geq 0

$w(e) \geq 0$

e \in E

$e \in E$

挑选顶点的随机子集。 $S$
在顶点上选择一个顺序，然后贪婪地将每个顶点放置在或以最大化到目前为止切割的边 $v$ $S$ $\bar{S}$
进行局部改进：如果 $S$ 中有任何顶点可以移动到 $\bar{S}$ 以增加切割（反之亦然），则进行移动。

对所有这些算法的标准分析实际上表明，所得的割至少与 $\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e)$ ，这是的上限 $1/2$ 如果 $w$ 为非负数，则最大切割的权重-但是如果允许某些边缘具有负权重，则不是！

例如，算法1（选择顶点的随机子集）在带有负边权重的图上显然会失败。

我的问题是：

是否有一种简单的组合算法，可以对可具有负边权重的图的最大割问题得到O（1）近似值？

为了避免最大割取值的可能发粘的问题 $0$ ，我将允许 $\sum_{e \in E}w(e) > 0$ ，并且/或者除可导致较小附加误差的算法外，还应予以满足乘法因子近似。

— 亚伦·罗斯
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这里的条件“简单组合”是否必不可少？

— 张显治张显之

我最感兴趣的是一种简单的组合算法，例如正重量情况下的2近似。请注意，我询问的是任何O（1）近似值，因此我希望，如果有任何一种算法可以实现这一目标，那么使用一个简单的算法就应该可以实现。但是，我也会对具有负边缘权重的图上的SDP算法的性能保证有什么兴趣，或者有证据表明，如果，则不存在恒定因子近似算法。

P \neq N P

$P \ne NP$

— 亚伦·罗斯

Answers:

这是我第一次争论。这是错误的，但是我在“编辑：”之后进行了修复。

如果您可以有效地近似解决带有负边缘权重的最大切割问题，您是否不能用它来解决带有正边缘权重的最大切割问题？首先要解决的最大割问题是的最优解。现在，在和之间放置一个较大的负权重边（权重为）。新问题的最佳解决方案是，因此我们的假设近似算法将为您提供最大割的解决方案，其值最多比最佳值差。在原始图上，最大切割比最佳切割最多还差。如果你选择接近 $b$ $-a$ $u$ $v$ $b-a$ $(b-a)/2$ $(b-a)/2$ $a$ $b$ ，这违反了不可逼近性的结果，即如果P NP，则不能将最大切割近似于一个优于因子。 $\neq$ $16/17$

编辑：

上面的算法不起作用，因为您不能保证和在新图中的切口的相反侧，即使它们最初是在切口中。不过，我可以按以下方式解决此问题。 $u$ $v$

假设我们有一个近似算法，只要所有边缘权重之和为正，就可以在OPT的2倍之内进行切割。

如上所述，从图开始，在图边缘上所有非负权重。我们将找到带有一些负权重的修改图，这样，如果我们可以将的最大割线近似为2，则可以很好地估计的最大割线。 $G$ $G^*$ $G^*$ $G$

选择两个顶点和，并希望它们在最大切割的相对两侧。（您可以对所有可能的重复此操作，以确保尝试一次。）现在，在和a的所有边和上放置一个较大的负权重。边上的正负大。假定最佳切割的权重为。 $u$ $v$ $v$ $-d$ $(u,x)$ $(v,x)$ $x \neq u,v$ $a$ $(u,v)$ $OPT$

与值A切在，其中顶点和是在切割的同一侧，现在具有值其中是在切口的另一侧的顶点的数量。现在在两边具有且原始值为的切口的值为。因此，如果我们选择足够大的，则可以强制在同一侧上具有和所有剪切都具有负值，因此，如果存在具有正值的任何剪切，则的最优剪切将具有和 $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 2dm$ $m$ $(u,v)$ $c$ $c + a - (n-2)d$ $d$ $u$ $v$ $G^*$ $u$ $v$ 在相反的两侧。请注意，我们会在和在相对两侧的任何切口上添加固定权重。 $(a - (n-2)d)$ $u$ $v$

令。选择使得为（我们稍后将对此进行说明）。在中权重为且在相对侧上具有和的剪切现在变成权重为的剪切。这意味着的最佳切割权重为。我们的新算法发现权重至少为切口。这将转换为原始图中权重至少为（因为所有切口均具有正权重 $f=(a - (n-2)d)$ $a$ $f \approx - 0.98 OPT$ $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 0.98 OPT$ $G^*$ $0.02 OPT$ $G^*$ $0.01 OPT$ $G$ $0.99OPT$ $G^*$ $u$ 和），这比不可逼近结果更好。 $v$

选择足够大的以使和在同一侧为负数进行任何切割都没有问题，因为我们可以根据需要选择。但如何做，我们选择让当我们不知道？我们可以近似真的很好......如果我们让是在边缘权重的总和，我们知道。因此，我们在的值范围很窄，并且可以对到之间的所有值进行迭代。 $d$ $u$ $v$ $d$ $a$ $f \approx -.99OPT$ $OPT$ $OPT$ $T$ $G$ $\frac{1}{2}T \leq OPT \leq T$ $f$ $f$ $-.49T$ $-.99T$ 每隔。对于这些间隔之一，我们可以保证，因此可以保证这些迭代之一返回良好的截断。 $0.005T$ $f \approx -0.98 OPT$

最后，我们需要检查新图的边权重之和为正。我们从边缘权重为的图开始，然后将加到边缘权重之和上。由于，我们很好 $T$ $f$ $-.99T \leq f \leq -.49T$

— 彼得·索尔
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但是你的和什么？最大割问题的通常表述没有任何需要分离的“特殊节点”。

u

$u$

v

$v$

— Jukka Suomela 2010年

嗨，伊恩（Ian）-我认为这行不通。为什么在原始图形中必须必须存在以最大割线分隔的和，并在它们之间添加沉重的负边后仍保持以最大割线分隔？例如，考虑完整的图形-在任意位置添加一个任意的负边缘根本不会改变切割值。

u

$u$

v

$v$

— 亚伦·罗斯

一个问题是，如果在每对顶点之间添加负边缘，那么您将按不同的量修改不同切割的值。（我们从cut的值中减去）。因此，我们有一个问题，即修改后的图中的最大切割的身份不一定与原始图中的最大切割相对应。

| S | \cdot | \bar{S} | \cdot a

$|S|\cdot|\bar{S}|\cdot a$

S

$S$

— 亚伦·罗斯

@Peter：在我引用的那段之后的段落中，选择足够小的值以使。您不能安全地选择在一个段落中足够大而在下一个段落中足够小！特别是，没有办法选择和来确保所有并同时具有。这是因为对于所有来说意味着。

a

$a$

f \approx - 0.98 O P T

$f \approx -0.98 OPT$

a

$a$

a

$a$

d

$d$

c + a - (n - 2) d > c - d m

$c+a-(n-2)d>c-dm$

0 \leq m \leq n

$0\le m \le n$

a - (n - 2) d = f \approx - 0.98 \cdot O P T

$a-(n-2)d = f\approx -0.98 \cdot OPT$

c + a - (n - 2) d > c - d m

$c+a-(n-2)d>c-dm$

0 \leq m \leq n

$0\le m \le n$

f = a - (n - 2) d > 0

$f=a-(n-2)d > 0$

— 沃伦·舒迪

@沃伦，您选择的足够大，以便所有切割的。这可以通过选择足够大的来完成。你再选择合适的大小，以便最佳临界只是略高于。阅读我的答案的最后两段。

d

$d$

c - d m < 0

$c-dm<0$

d

$d$

a

$a$

0

$0$

— 彼得·索尔

在S. Har-Peled的“ 近似最大切割 ”一文中，论文的最后一行提到最大切割的实际加权版本已在

通过grothendieck不等式逼近标准，Noga Alon和Assaf Naor，SIAM计算杂志，2006年。

它确实是一种SDP算法，在我看来，近似比率为0.56，尽管我不确定本文中讨论的减少是否保留比率。深入研究本文可能会有所帮助！

— 张显之张显之
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阿隆纳尔（Alon-Naor）的问题是相似的，但我不认为保留比例会有所降低。他们的问题是最大化，其中并且是矩阵。对于max-cut及其近亲来说，至关重要的是

x^{T} M y

$x^TMy$

x, y \in {\pm 1}^{n}

$x, y \in \{\pm 1\}^n$

M

$M$

n \times n

$n \times n$

x = y

$x = y$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov：对于削减标准而言，无论我们是否要求，在不考虑固定因素的情况下，这都是不重要的。

x = y

$x=y$

— 大卫

@david我知道这种减少，但是实际上正确的说法是其中所有最大值都超过 -1，1，并且是对称的且具有非负对角线。但是，问题可以具有与完全不同的值（这是MaxCut所需的值）。例如，考虑，其中是全1矩阵。您可以看到约为，而为。

max_{x} | x^{T} M x | \leq max_{x, y} x^{T} M y \leq 4 max_{x} | x^{T} M x |

$\max_x |x^TMx| \leq \max_{x, y}{x^TMy} \leq 4 \max_x |x^TMx|$

{- 1, 1}^{n}

$\{-1, 1\}^n$

M

$M$

max_{x} | x^{T} M x |

$\max_x |x^TMx|$

max_{x} x^{T} M x

$\max_x x^TMx$

M = I - J

$M = I-J$

J

$J$

n \times n

$n\times n$

max_{x} x^{T} M x

$\max_{x}{x^TMx}$

n / 2

$n/2$

max_{x} | x^{T} M x |

$\max_{x}{|x^TMx|}$

n^{2} - n

$n^2 - n$

— Sasho Nikolov

通过简化为二次规划问题，您的问题具有对数近似值。

所述MaxQP问题是近似二次型的问题用于矩阵，其中的范围在。可以通过设置以此形式编写，其中是单位矩阵，是邻接矩阵。只要具有非负对角线，Charikar和Wirth的MaxQP算法就可以得出MaxQP的近似值。因此，只要，权重为负的MaxCut就有对数近似值。 $x^TMx$ $n \times n$ $M$ $x$ $\{\pm 1\}^n$ $M = \frac{1}{2n}(\sum{w_e})I - \frac{1}{2}A$ $I$ $A$ $O(\log n)$ $M$ $\sum{w_e} \geq 0$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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