低尺寸的欧几里德平方最大割


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x1,,xn为平面R2。考虑一个完整的图,以点为顶点,边权重为xixj2。您是否总能找到至少减少2的体重23总重量的 3?如果不是,则哪个常数应替换23

我能找到的最糟糕的例子是等边三角形上的3个点,该点达到了23。请注意,随机分割会产生12,但从直觉上看,很明显,在低维度上,人们可以比随机地更好地聚集。

对于k> 2的max-k-cut会发生什么?尺寸d> 2怎么样?是否有回答此类问题的框架?我知道Cheeger的不等式,但是这些不等式适用于最稀疏的切割(而不是最大切割),并且仅适用于规则图。

(问题的灵感来自计算机图形中的光源聚类问题,以最大程度地减少方差)。


Max k-Cut有一个简单的1-2 / k近似值,对于k> 2,您可以找到一个很好的大切角,但是对于k = 2,您可以看到www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut -jacm.pdf和相关主题,我认为,如果您发现高概率的好切割,您可以说存在2/3的切割,至少可能性范围是有限的。
Saeed

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但是请注意,此处的权重函数是平方欧几里德距离,不是度量标准。
Suresh Venkat

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我想对于这些实例,最大剪切有一个ptas,甚至可能是一个multitime算法,但是具体问题非常有趣。清楚的是,当顶点在一个循环中等距分布时,最大割点是什么?并且该类中使最大割点最小化的示例是三个等距顶点吗?因为可能存在一个论点,表明可以将每个点的配置转换为“对称”配置而不增加最大切割与总重量的比率,所以仅了解高度对称的配置可能就足够了
Luca Trevisan

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另外,在一维中会发生什么?可以找到最大切割量约为总重量的2/3的配置(一个点为-1,一个点为+1,四个点非常接近零;总重为12,最佳是8)。2/3是一维中最大切割与总重量的最小可能比率吗?
卡·特雷维森

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@卢卡:是的,一维也不是小事。直观地,常数应随尺寸增加而接近1/2。对于2D情况,我们可以假设重心在(0,0),并且所有点都在单位圆内。可能会有一些“点排斥”的论点将点推向单位圆,而不增加切割重量,这会有所帮助,但我无法确定。
米洛斯·哈桑

Answers:


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该常数确实会随着尺寸的增加而趋向于1/2。在d维中,可以有d + 1个点,彼此相距一距离,因此距离平方和为,最大割点最多为,这是占总重量的比例(d+12)(d+1)2/412d+1d


好的,但是为什么d + 1点的配置彼此之间的距离为1,这是最坏的情况?这似乎是合理的,但是显而易见吗?(对于d = 1,两个点彼此相距1的距离显然不是最坏的情况;您在上面给出的6点配置更糟糕。可能是d = 1是唯一的病理情况,并且可以工作对于d> = 2?)
Milos Hasan

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@milos我不确定我是否理解。我们知道0.5是可以实现的,并且此示例表明您无法做得更好。但是,它不会破坏飞机的2/3猜想。
Suresh Venkat

@Suresh:我真正想得到的是证明您可以在低维度上做得更好,例如,我对特定低d的最差常数的实际值的序列感兴趣。
米洛斯·哈桑

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我真的很想证明低d的实际差距在1/2和2/3之间。这将产生有趣的结果,即,如果您的问题本质上是低维的(很多),您可以击败蒙特卡罗求和/积分(通过将问题巧妙地分解为子问题,而不是随机地将其分解为子问题)。
米洛斯·哈桑

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尽管这仅是大d的答案,但它表明在分析小d情况时会遇到什么样的困难。假设在2维中,可以有五个点,其成对距离平方均在1到1.1之间。然后,总重量至少为10,最大切割最大为6.6。如果2/3是二维的正确答案,则必须证明如果有五个点使得所有成对的欧几里得距离都至少为1,则成对的欧几里得距离之一至少为。你怎么认为呢?1.1
卡·特雷维森

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在等边三角形上取3点A,B,C,并在中心再加上3点D,E,F。很明显,您要在切割的一侧使用A,B,C中的两个,因此,可以说这三个点的切割是(AB; C)。现在,每个点D,E,F都必须位于切割的C侧,因此最佳切割为(AB; CDEF),并且可以轻松地将比率检查为2/3。

现在,将点D,E,F稍微移离中心,以形成一个小的等边三角形。只要它们围绕中心对称,在哪个方向上都没有关系。如果将它们移动足够小的距离,则最佳切割仍必须为(AB; CDEF)。考虑这种切割的长度。边缘(AC,BC)占边缘(AB,BC,AC)总长度的2/3。通过对称性,边缘的总长度(AD,AE,AF,BD,BE,BF)是边缘的长度的2/3(AD,AE,AF,BD,BE,BF,CD,CE,CF )。但是没有任何边缘(DE,EF,DF)在切口中。因此,此切割的比率严格小于2/3。

您应该能够优化此构造,以找到最佳切割效果明显小于2/3的配置。尝试一下,如果您将六个点排列在两个具有相同中心的等边三角形中,则较小的一个,较大的那个大小变为的总重量,而不是。(61)/5.2899.64082/3


很好,你说得对!好吧,另一个优雅的猜想咬住了灰尘……尽管平面中的常数是否大于1/2,或者是否可以用簇实现,这仍然是一个悬而未决的问题,其中。我会考虑的更多。1O(kα)kα>1
米洛斯·哈桑

我的猜测是正确的答案不会比.64低太多,但是我不知道如何显示下限。
彼得·索尔
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