低尺寸的欧几里德平方最大割

令 $x_1, \ldots, x_n$ 为平面 $\mathbb{R}^2$ 。考虑一个完整的图，以点为顶点，边权重为 $\|x_i - x_j\|^2$ 。您是否总能找到至少减少的体重 $\frac 2 3$ 总重量的？如果不是，则哪个常数应替换 $\frac 2 3$ ？

我能找到的最糟糕的例子是等边三角形上的3个点，该点达到了 $\frac 2 3$ 。请注意，随机分割会产生 $\frac 1 2$ ，但从直觉上看，很明显，在低维度上，人们可以比随机地更好地聚集。

对于k> 2的max-k-cut会发生什么？尺寸d> 2怎么样？是否有回答此类问题的框架？我知道Cheeger的不等式，但是这些不等式适用于最稀疏的切割（而不是最大切割），并且仅适用于规则图。

（问题的灵感来自计算机图形中的光源聚类问题，以最大程度地减少方差）。

— 米洛斯·哈桑（Milos Hasan）
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Max k-Cut有一个简单的1-2 / k近似值，对于k> 2，您可以找到一个很好的大切角，但是对于k = 2，您可以看到www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut -jacm.pdf和相关主题，我认为，如果您发现高概率的好切割，您可以说存在2/3的切割，至少可能性范围是有限的。

— Saeed

但是请注意，此处的权重函数是平方欧几里德距离，不是度量标准。

— Suresh Venkat

我想对于这些实例，最大剪切有一个ptas，甚至可能是一个multitime算法，但是具体问题非常有趣。清楚的是，当顶点在一个循环中等距分布时，最大割点是什么？并且该类中使最大割点最小化的示例是三个等距顶点吗？因为可能存在一个论点，表明可以将每个点的配置转换为“对称”配置而不增加最大切割与总重量的比率，所以仅了解高度对称的配置可能就足够了

— Luca Trevisan

另外，在一维中会发生什么？可以找到最大切割量约为总重量的2/3的配置（一个点为-1，一个点为+1，四个点非常接近零；总重为12，最佳是8）。2/3是一维中最大切割与总重量的最小可能比率吗？

— 卡·特雷维森

@卢卡：是的，一维也不是小事。直观地，常数应随尺寸增加而接近1/2。对于2D情况，我们可以假设重心在（0,0），并且所有点都在单位圆内。可能会有一些“点排斥”的论点将点推向单位圆，而不增加切割重量，这会有所帮助，但我无法确定。

— 米洛斯·哈桑

Answers:

该常数确实会随着尺寸的增加而趋向于1/2。在d维中，可以有d + 1个点，彼此相距一距离，因此距离平方和为，最大割点最多为，这是占总重量的比例 ${d+1 \choose 2}$ $(d+1)^2/4$ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— 卢卡·特雷维森（Luca Trevisan）
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好的，但是为什么d + 1点的配置彼此之间的距离为1，这是最坏的情况？这似乎是合理的，但是显而易见吗？（对于d = 1，两个点彼此相距1的距离显然不是最坏的情况；您在上面给出的6点配置更糟糕。可能是d = 1是唯一的病理情况，并且可以工作对于d> = 2？）

— Milos Hasan

@milos我不确定我是否理解。我们知道0.5是可以实现的，并且此示例表明您无法做得更好。但是，它不会破坏飞机的2/3猜想。

— Suresh Venkat

@Suresh：我真正想得到的是证明您可以在低维度上做得更好，例如，我对特定低d的最差常数的实际值的序列感兴趣。

— 米洛斯·哈桑

我真的很想证明低d的实际差距在1/2和2/3之间。这将产生有趣的结果，即，如果您的问题本质上是低维的（很多），您可以击败蒙特卡罗求和/积分（通过将问题巧妙地分解为子问题，而不是随机地将其分解为子问题）。

— 米洛斯·哈桑

尽管这仅是大d的答案，但它表明在分析小d情况时会遇到什么样的困难。假设在2维中，可以有五个点，其成对距离平方均在1到1.1之间。然后，总重量至少为10，最大切割最大为6.6。如果2/3是二维的正确答案，则必须证明如果有五个点使得所有成对的欧几里得距离都至少为1，则成对的欧几里得距离之一至少为。你怎么认为呢？

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

— 卡·特雷维森

在等边三角形上取3点A，B，C，并在中心再加上3点D，E，F。很明显，您要在切割的一侧使用A，B，C中的两个，因此，可以说这三个点的切割是（AB; C）。现在，每个点D，E，F都必须位于切割的C侧，因此最佳切割为（AB; CDEF），并且可以轻松地将比率检查为2/3。

现在，将点D，E，F稍微移离中心，以形成一个小的等边三角形。只要它们围绕中心对称，在哪个方向上都没有关系。如果将它们移动足够小的距离，则最佳切割仍必须为（AB; CDEF）。考虑这种切割的长度。边缘（AC，BC）占边缘（AB，BC，AC）总长度的2/3。通过对称性，边缘的总长度（AD，AE，AF，BD，BE，BF）是边缘的长度的2/3（AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF ）。但是没有任何边缘（DE，EF，DF）在切口中。因此，此切割的比率严格小于2/3。

您应该能够优化此构造，以找到最佳切割效果明显小于2/3的配置。尝试一下，如果您将六个点排列在两个具有相同中心的等边三角形中，则较小的一个，较大的那个大小变为的总重量，而不是。 $(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— 彼得·索尔
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很好，你说得对！好吧，另一个优雅的猜想咬住了灰尘……尽管平面中的常数是否大于1/2，或者是否可以用簇实现，这仍然是一个悬而未决的问题，其中。我会考虑的更多。

1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

— 米洛斯·哈桑

我的猜测是正确的答案不会比.64低太多，但是我不知道如何显示下限。

— 彼得·索尔