函数的eta等效性是否可以与Haskell的seq操作兼容？

引理：假设等式我们有(\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B。

证明：⊥ = (\x -> ⊥ x)通过η等价，并(\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)通过λ下的减少。

Haskell 2010报告第6.2节seq通过两个方程式指定了该函数：

序列:: a-> b-> b
seq⊥b =⊥
seq ab = b，如果a≠⊥

然后声明“因此，⊥与\ x-> not不同，因为seq可用于区分它们。”

我的问题是，这真的是定义的结果seq吗？

隐含的说法似乎是seq将不可计算如果seq (\x -> ⊥) b = ⊥。但是我还不能证明这样的seq说法是没有争议的。在我看来，seq这既是单调的，又是连续的，这使它处于可计算的领域。

诸如seq之类的算法可能会通过枚举以starting开头的域来尝试搜索某些x位置f x ≠ ⊥而工作f。尽管这样的实现，即使有可能，一旦我们想要使seq多态成为现实，也会变得非常麻烦。

是否有证据证明不存在可计算seq的是标识(\x -> ⊥)有⊥ :: A -> B？另外，有一些建筑的seq，它识别(\x -> ⊥)用⊥ :: A -> B？

首先，让我们明确了解如何seq区分从λ X 。⊥：$\bot$$\lambda x . \bot$

bottom :: a
bottom = bottom

eta :: a -> b
eta x = bottom

-- This terminates
fortytwo = seq eta 42

-- This does not terminate
infinity = seq bottom 42

因此，它是一种实验事实，即在Haskell 和λ X 。⊥在操作上区别开来。这也是一个事实，而且很明显，可以计算，因为Haskell对其进行了计算。关于Haskell的更多信息。您正在询问Haskell文档的非常特殊的措词。我读这句话的意思是应该满足两个给定的方程，但是这两个方程不足以定义。这是为什么：我可以给你的（简单地键入）两种型号λ演算中是可计算的，并且满足给定的公式，但在车型之一⊥和λ X 。$\bot$$\lambda x . \bot$seqseqseq$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$ 同意，而对方则不同意。

在一个简单的结构域的理论模型 -expressions在连续函数的域解释[ d → ë ]我们有⊥ = λ X 。⊥，效果显着。采用有效的Scott域名或类似域名，使一切都可计算。在这样的模型中很容易定义。$\lambda$$[D \to E]$$\bot = \lambda x . \bot$seq

我们也可以有一个模型演算中区分⊥和λ X 。⊥，那么η-规则当然不能成立。例如，我们可以通过解释域[ D → E ] ⊥中的函数来做到这一点，即具有附加底部的函数空间域。现在⊥是，井的底部[ d → ë ] ⊥，而λ X 。⊥是它上方的元素。无法通过应用区分它们，因为它们都评估$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$$\eta$$[D \to E]_\bot$$\bot$$[D \to E]_\bot$$\lambda x . \bot$，无论您将它们应用于什么（它们在扩展上都是相等的）。但是，我们确实拥有域之间的映射，并且alwyas可以将底部与所有其他元素区分开。$\bot$seq

请注意，seq引用的规范不是其定义。引用Haskell报告“函数seq 由等式定义：[然后是您提供的等式]”。

建议的论点似乎是，如果seq（\ x->⊥）b =⊥，则seq将不可计算。

这种行为将违反的规范seq。

重要的是，由于seq是多态的，seq因此无法根据两个参数中的任何一个的解构函数（投影/模式匹配等）进行定义。

是否有证据表明没有可计算的seq用⊥:: A-> B来标识（\ x->⊥）？

如果为seq' (\x -> ⊥) b，则可能会认为我们可以将第一个参数（这是一个函数）应用于某个值，然后得出。但是，由于其参数多态类型，seq因此永远无法使用函数值来识别第一个参数（即使它碰巧是一个用于seq的参数）。参数化意味着我们对参数一无所知。而且，seq永远不能采用表达式来决定“这是⊥吗？” （参见停顿问题），seq只能尝试对其进行评估，而其自身会偏离⊥。

什么seq是求值第一个参数（不是完全，而是“弱头范式” [1]，即最顶层的构造函数），然后返回第二个参数。如果第一个参数恰好是⊥（即非终止计算），则对其求值会导致seq非终止，因此seq ⊥ a = ⊥。

[1] seq存在下的自由定理-Johann，Voigtlander http://www.iai.uni-bonn.de/~jv/p76-voigtlaender.pdf

$\lambda x.\, \bot$$\lambda x.\, \bot$

萨姆森·阿布拉姆斯基（Samson Abramsky）很久以前就考虑过这个问题，并撰写了一篇名为《The Lazy Lambda Calculus》的论文。因此，如果您需要正式定义，则可能会在这里查找。

证明λx。Ω≠Ω中是阿布拉姆斯基给他的懒惰演算理论（第2页的目标之一他的论文，由乌代雷迪已经引用），因为他们都处于弱势头部正常形态。从定义2.7开始，他明确讨论了eta约简λx。M x→M通常不是有效的，但是如果M在所有环境中都终止，则有可能。这并不意味着M必须是一个总函数-只是求值M必须终止（例如，通过减小为lambda）。

您的问题似乎是由实际问题（性能）引起的。但是，即使Haskell报告可能还不够完全清楚，但我怀疑是否等于λx。与‌配合使用将产生Haskell的有用实现；是否实施Haskell '98尚有待商but，但鉴于此，作者显然希望如此。

最后，seq如何为任意输入类型生成元素？（我知道QuickCheck为此定义了Arbitrary类型类，但是您不允许在此处添加此类约束）。这违反了参数化。

更新：我没有设法对此进行编码（因为我不太熟悉Haskel），并且解决此问题似乎需要嵌套runST区域。我尝试使用单个参考单元（在ST monad中）保存这样的任意元素，以后再读取它们，并使其普遍可用。参数性证明break_parametricity不能定义下方（除非返回底部，例如返回错误），但可以恢复提议的seq会生成的元素。

import Control.Monad.ST
import Data.STRef
import Data.Maybe

produce_maybe_a :: Maybe a
produce_maybe_a = runST $ do { cell <- newSTRef Nothing; (\x -> writeSTRef cell (Just x) >> return x) `seq` (readSTRef cell) }

break_parametricity :: a
break_parametricity = fromJust produce_maybe_a

我必须承认，我对此处需要的参数化证明的形式化有些模糊，但是这种非正式的参数化使用在Haskell中是标准的。但是我从德里克·德雷尔（Derek Dreyer）的著作中学到，近几年来，所需的理论正在迅速得到解决。

编辑：

• 我什至不确定您是否需要那些针对类似于ML的语言，命令式和无类型语言进行了研究的扩展，或者经典的参数化理论是否涵盖了Haskell。
• 另外，我之所以提到德里克·德雷尔（Derek Dreyer）只是因为我后来才接触到乌代·雷迪（Uday Reddy）的作品-我是最近才从《雷诺兹的本质》中学到的。（我只是在上个月左右才真正开始阅读有关参数的文献）。