任何难于计数但易于确定的多项式？

每个单调算术电路，即电路，都会计算一些具有非负整数系数的多元多项式F （x 1，… ，x n）。给定多项式 ，电路$\{+,\times\}$$F(x_1,\ldots,x_n)$$f(x_1,\ldots,x_n)$

• 如果对于所有都成立，则计算； $f$$F(a)=f(a)$$a\in \mathbb{N}^n$
• 如果对于所有成立，则计算； $f$$F(a)=f(a)$$a\in\{0,1\}^n$
• 对于所有当成立 时，确定是否恰好满足。 $f$$F(a)>0$$f(a)>0$$a\in\{0,1\}^n$

我知道显式多项式（甚至是多线性的）表明电路大小的间隙“计算/计数”可以是指数的。我的问题涉及“计数/决定”的差距。$f$

问题1：是否有人知道多项式计算比由{ + ，× }-回路决定的指数难计算？ $f$$\{+,\times\}$

作为一个可能的候选者，人们可以采取的路径多项式其变量对应于完整图的边上{ 1 ，... ，Ñ }，并且每个单项对应于简单的路径从节点1到节点ñ在ķ Ñ。该多项式可以决定通过尺寸的电路ø （Ñ 3）实施，也就是说，贝尔曼-福特动态规划算法，它是相对容易证明，每{ + ，× } -电路计算$K_n$$\{1,\ldots,n\}$$1$$n$$K_n$$O(n^3)$$\{+,\times\}$PATH必须有大小。 $2^{\Omega(n)}$

在另一方面，每个电路计数 PATH解决 PATH问题，即，计数的数目1 -到- ñ路径在由对应的指定的0 - 1的输入子图ķ Ñ。这就是所谓的＃ P -完全问题。因此，我们所有人都“相信” PATH不能具有多项式大小的任何计数{ + ，× }-电路。“唯一”的问题是证明这一点... $\#$$1$$n$$0$$1$$K_n$$\#$$\{+,\times\}$

我可以证明，计算相关汉密尔顿路径多项式HP的每个电路都需要指数大小。该多项式对应的单项式1 -到- ñ路径在ķ Ñ包含的所有节点。不幸的是，还原的＃ HP到＃ PATH通过威力需要计算Vandermonde矩阵的逆，并且因此不能由实施{ + ，× } -电路。$\{+,\times\}$$1$$n$$K_n$$\#$$\#$$\{+,\times\}$

问题2：有人看到一个单调减少惠普＃路径？ $\#$$\#$

最后：

问题3：是班上的一个“单调版” P在所有的考虑？ $\#$

NB请注意，我说的是非常严格的类电路组成：单调运算电路！在电路类中，问题1根本是不公平的：即使在所有条件下都需要计算给定多项式时，此类电路的下限也不得大于Ω （n log n ）。R n中的输入是已知的。同样，在此类电路的类别中，问题1的“结构类似物”-是否存在＃个 P完全多项式，可以通过多项式大小{ + ，$\{+,-,\times\}$$\Omega(n\log n)$$\mathbb{R}^n$$\#$电路？-有肯定的回答。这就是，例如，永久多项式PER = Σ ħ ∈ 小号Ñ Π Ñ 我= 1 X 我，ħ （我）。 $\{+,-,\times\}$$=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

添加： 伊藤刚用一个非常简单的技巧回答了问题1。尽管如此，问题2和3仍未解决。PATH的计数状态本身很有趣，因为它是一个标准的DP问题，而且是#P完整的。

（我将根据OP的要求发表评论作为答复。）

对于问题1，令f _n：{0,1} ⁿ →ℕ是其算术电路需要指数大小的函数族。然后也是如此˚F _ñ +1，但˚F _ñ +1很容易被琐碎单调运算电路来决定。如果您希望避免单调运算电路中的常数，则令f _n：{0,1} ⁿ →ℕ为一族函数，​​以便f _n的运算电路需要指数大小和f _n（0，…，0） = 0，并考虑f _n + x ₁ +…+ x _n。