任意一组门的电路下限

在1980年代，Razborov著名地证明了存在显式单调布尔函数（例如CLIQUE函数），它们需要按指数方式计算许多AND和OR门。但是，布尔域{0,1}上的基数{AND，OR}只是一个有趣的门集的一个例子，它没有通用。这导致了我的问题：

是否还有其他一组与单调门不同的有趣的门，其电路尺寸的指数下限是已知的（电路没有深度或其他限制）？如果不是这样，是否还有其他门框可以作为此类下限的合理候选者？这些边界不一定需要突破自然证明的障碍，而Razborov的单调电路结果却没有？

如果存在这样的门集，那么对于k≥3，肯定会超过k元字母。原因是，在二进制字母上，

（1）个单调门（{AND，OR}），

（2）个线性门（{NOT，XOR}），和

（3）个通用门（{AND，OR，NOT}）

基本上用尽了有趣的可能性，如下Post的分类定理所示。（请注意，我假设常量-在二进制情况下为-0和1-始终是免费提供的。）使用线性门时，每个布尔函数f：{0,1} ⁿ →{0,1}完全可以通过线性电路计算。有了通用集，我们当然会遇到自然证明和其他可怕的障碍。

另一方面，例如，如果我们考虑以3或4个符号字母表示的门集，则可能会出现更多的可能性-至少就我所知，这些可能性从未被完全描绘出来从复杂性理论的角度来看（如果我错了，请纠正我）。我知道在通用代数中以“克隆”为名对可能的门集进行了广泛的研究。我希望我能更熟悉该文献，以便知道该领域的结果对电路复杂性意味着什么。

在任何情况下，如果我们简单地将门集合的类别扩展到我们愿意考虑的有限字母上，似乎还有其他戏剧性的电路下界需要证明。如果我错了，请告诉我原因！

（根据Suresh的建议从注释中移出。请注意，此处已修正了注释中的一些错误。）

感谢Scott提出了一个很好的问题。

斯科特似乎认为，下限困难的原因可能是布尔情况下的受限操作语言。香农的计数论证表明大多数电路必须很大，这取决于可计数的表达能力与无数个电路之间的差距。当字母至少包含3个符号时，这种差距似乎消失了。

对于字母大小2（布尔情况），克隆的格子是无穷大的，称为Post的格子。

Post的晶格也清楚地说明了为什么布尔布尔运算只有几个有趣的运算基础。

对于3或更大的字母，克隆的格子是不可数的。此外，晶格不满足任何非平凡的晶格身份，因此似乎不可能提供晶格的完整描述。对于4或更大的字母，克隆的晶格实际上包含每个有限晶格作为子晶格。因此，当字母具有3个或更多符号时，要考虑的操作可能有无限多种可能。

• Bulatov，Andrei A.， 克隆格满足的条件，通用代数 46 237–241，2001。doi ：10.1007 / PL00000340

斯科特进一步问：如果我们假设常量是免费的，那么克隆的格是否仍然不可数？

答案是确实如此，例如

• GradimirVojvodić，JovankaPantović和RatkoTošić， 具有一元功能的克隆数，NSJOM 27 83-87，1997 。（PDF）
• J.Pantović，R。Tošić和G.Vojvodić， “三元集上的功能完全代数的基数”，《通用代数》 38 136–140，1997。doi ：10.1007 / s000120050042

尽管显然这是早先发布的：

• 阿戈什顿，I.，Demetrovics，J.，和Hannák，L. 在包含所有常量克隆的数量时，Coll。数学。Soc。詹尼斯·波利亚（JánosBolyai）， 43 21–25，1983年。

一个不错的具体声明来自：

• A. Bulatov，A。Krokhin，K。Safin和E. Sukhanov，《关于克隆格 的结构》，载于：“通用代数与离散数学”，编辑：K。Denecke和O.Lueders，27-34。Heldermann Verlag，柏林，1995年。（PS）

推论3（如上所述，归因于Ágoston等人）：令。那么包含所有常量的克隆数为。$k \ge 3$$\mathcal{L}_k$$2^{\aleph_0}$

总结一下，我不知道使用非布尔型克隆来实现电路下限的任何工作。这似乎值得更深入地研究。鉴于对克隆晶格知之甚少，可能有一些有趣的操作基础正在等待发现。

克隆理论与计算机科学之间的更多联系对于从事通用代数工作的数学家来说也可能很感兴趣。当Peter Jeavons表明代数可以与约束语言相关联时，便出现了这种交互作用的示例，该方式可以将易处理性结果转换为代数的性质。Andrei Bulatov用它证明了域大小为3的CSP的二分法。反之，由于计算机科学的应用，人们对驯服的一致性理论产生了兴趣。我不知道克隆理论与非布尔电路复杂性之间的联系会带来什么。

正如Suresh所建议的，这是从评论移开的。

如果考虑函数，则线性门的情况更多，因为计数参数表明有些函数需要门需要计算，尽管没有明确的示例需要超线性电路。$f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

编辑。也可以使用count参数显示，对于某些常数，大多数函数的复杂度都大于，因此，如果您只是随机选择一个函数，则会得到一个复杂功能的可能性很高。$\frac{n^2}{\log(n) * c}$$c$

在另一方面，作为在评论斯科特·阿伦森点，就不难想出候选线性变换是应该需要异或门（的傅立叶变换中，“谢尔宾斯基垫片”矩阵... ），Bram Cohen提出了一个示例函数，该函数需要 XOR门。$\Omega(n log n)$$\Omega(n^{3/2})$

编辑2。主要障碍是，据我所知，即使对于线性门，我们也没有任何方法来证明非线性下界（对于线性下界，可以使用门消除，这很可能不会产生非线性下界。 -线性界限）。尽管看起来线性代数的某些方法确实很有帮助。因此，提出候选人很不错，但是仍然需要一些新方法。

1. 实际上，已经尝试证明工作在比大的域上的电路的下界。Tkachov说[莫斯科大学Vestnik，Nr。[1977年1月1日，俄语]考虑使用输入向量电路。作为门，他允许和。他认为下面的函数：如果含有或数量 'S IN是至少的数目的。他表明，任何电路（超过MIN / XOR）都需要大约门来计算$\{0,1\}$$a$$Z_3^n=\{0,1,2\}^n$$\min(x,y)$$xy\mod{2}$$f(a)=0$$a$$0$$2$$a$$1$$2^n/\sqrt{n}$$f$。但是那是！我不知道会有任何其他类似结果的结果（进入更大但仍然有限的域），当然，除了算术电路之外。但是仅对于电路而言，将程序分支到更大的域会使下界的任务变得容易一些。

2. 在具有XOR门的电路上。在这里，即使深度的情况也是广泛开放的。显式的线性变换的最高下界过度具有以下形式。要证明对于常数像这样的边界，即使在深度，即使只允许XOR门，也是一个挑战。$2$$y=Ax$$GF(2)$$n\log^{3/2}n$$n^{1+c}$$c>0$$2$