是包含在？

我认为我会分享这个问题，因为这对其他用户来说可能很有趣。

假设属于统一类（例如）的函数也属于小的非统一类（例如，即非均匀），这意味着该函数包含在较小的统一类中（像）？如果对这个问题的回答是肯定的，那么包含的最小均匀复杂度等级是多少？如果为负，我们可以找到一个有趣的自然反例吗？ $NP$ $AC^0/poly$ $AC^0$ $P$ $NP \cap AC^0/poly$

是包含在？ $AC^0/poly \cap NP$ $P$

注意：一位朋友已经离线离线回答了我的问题，如果他自己没有添加，我会添加他的答案。

这个问题是我对以下非正式问题进行形式化的第二次尝试：

非均匀性可以帮助我们计算自然均匀性问题吗？

有关：

是否存在自然问题的候选人？ $P/poly−P$

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— 卡韦
source

@Kaveh：也许一个有趣的问题是要问问P / poly和NP中的自然问题，而不是问P。（或者这太容易了吗？）

— Robin Kothari 2010年

@Robin：这似乎很有趣，但我不知道它会更容易找到一个自然的问题

。

N P \cap P / p o l y - P

$NP \cap P/poly - P$

— 卡夫

@all：关于这个问题和答案，我需要多想一点。看来很自然的问题。但我感到不安的答案：第一，我们可以通过更换削弱假设

带有

，其中

是一个非常快速成长功能; 第二，反例不只是在

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

N T i m e (f) \neq D T i m e (f)

$NTime(f) \neq DTime(f)$

f

$f$

A C^{0} / p o l y

$AC^0/poly$ 但是具有尺寸1作为功能的电路是对尺寸的所有输入恒定

所有

！这两个原因可能表明这不是一个正确的问题。

n

$n$

n

$n$

— 卡夫

@Kaveh：也许您可能想看看Scott Aaronson定义的YP类。就像P / poly，但是“建议”不可信。换句话说，它就像NP相交coNP，但是见证人只能取决于输入长度。YP在P / poly中，是一个统一的类。可能是YP中的问题而不是P中的问题，这就是您要查找的问题的一个示例。这将是自然的，统一的，而不是P，P / poly，并且可能很重要，因为建议必须由电路来验证。

— 罗宾·科塔里

@Kaveh：YP类（“ Yoda多项式时间”）在Scott的论文“量子态的可学习性”中被正式定义[quant-ph / 0608142]

— Alessandro Cosentino 2010年

Answers:

这是Ryan答案的简化形式。假设。定义语言。假设转化为。此外，平凡。 $\Lambda \in NE \setminus E$ $L = \{x : |x| \in \Lambda\}$ $\Lambda \in NE \setminus E$ $L \in NP \setminus P$ $L \in AC^0/poly$

— Yuval Filmus
source

好答案，尤瓦尔！

— 戴乐

本质上，在1974年书籍中使用相同的变换来表示E≠NE当且仅当NP∖P包含提示语言时。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

只是可以肯定：我理解正确的是

的长度是一元写的吗？

| x |

$|x|$

x

$x$

— 文森特

@Vincent这里

是一个字符串而不是整数，并且

是它的长度。

x

$x$

| x |

$|x|$

— Yuval Filmus

是的，这让我感到困惑。如果

是某个字符串的长度，然后

是一个整数，那么它如何成为

的元素？

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

Λ

$\Lambda$

— 文森特

回答第一个问题：似乎不太可能。

定理：如果然后。 $NP \cap AC^0/poly \subseteq P$ $NEXP = EXP$

给定一个输出位的电路，将C的解压缩定义为通过对所有可能的输入求值获得的位串。即，减压为。 $C$ $C$ $C(0^n) C(0^{n-1}1) C(0^{n-2}10) \cdots C(1^n)$

将简洁的3SAT问题定义为：给定大小为的电路，其解压缩是否编码了可满足的布尔公式？ $C$ $n$ 众所周知，简洁的3SAT是完整的。 $NEXP$

现在考虑语言

{用二进制写的整数是简洁3SAT的yes-实例。 $L =$ $1^n |$ $n$

显然是，因为你可以硬编码是否是在，对于每个。 $L$ $AC^0/poly$ $1^n$ $L$ $n$

也在：用二进制写的整数长度约为，因此该电路的解压缩长度不超过。因此，令人满意的分配的长度最大为。 $L$ $NP$ $n$ $\log n$ $O(n)$ $O(n)$

但是用相同的观察，如果，然后，因为这意味着你有一个用于决定长度的简洁3SAT的每一个实例的时间算法。 $L \in P$ $NEXP=EXP$ $O(n^c)$ $\log n$

您的第二个问题是开放的（且开放的）。

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
source

为什么需要解决一些完整的问题？

— Yuval Filmus 2010年

认为它使论点更容易理解。

— 瑞安·威廉姆斯

感谢Ryan的出色回答和解释。尽管您是第一个发帖的人，但我想您不会介意我接受尤瓦尔的回答。

— 卡夫

对于卡夫的问题“非均匀性可以帮助我们计算自然的均匀性问题吗？”

我认为答案有时是“是”。例如，考虑Subset-Sum问题：给定正实数的序列，请确定它们的某个子集之和是否等于。即使限于正整数（背包），这也是一个NP难题。但是Friedhelm Meyer auf der Heide（1984）表明，对于任何，都可以通过深度小于的线性决策树来解决问题。在这种树中，测试的形式为：是大于某个阈值的输入变量的线性组合。这里的非均匀性很重要：对于每我们可能有完全不同的算法（决策树）。 $n$ $1$ $n$ $n^5$ $n$

参考文献：

Friedhelm Meyer auf der Heide, "A Polynomial Linear Search Algorithm for the n-Dimensional Knapsack Problem", 1984

— Stasys
source

Thank you. Interesting result, but looking at A Polynomial Linear Search Algorithm for the n-Dimensional Knapsack Problem, it seems a little bit of cheating to me. The size of the nonuniform program is exponential, only the depth is polynomial, it is like considering the whole computation tree of an NP algorithm on inputs of size

n

$n$ (it is like polynomial depth exponential size circuits).

— Kaveh

By a similar argument, we can say that any problem is solvable in constant time

2

$2$ , because the table of answers can be expressed by a CNF. I like Ryan and Yuval's construction more because it shows that although the problem is complicated in the uniform setting, for each input size it is very easy to solve.

— Kaveh

Kaveh, you are right: here we are interested in time (=depth), not in space (=log of network size). But note that a trivial algorithm for Subset-Sum would require time (depth)

2^{n}

$2^n$ to test all subsets of a given input string. Also, I thought your ask about natural candidates, not just for separation :-)

— Stasys

Of course, the Subset-Sum problem has a trivial non-deterministic algorithm: just guess a subset summing up to

1

$1$ . But we speak about deterministic algorithms. And that of Mayer auf der Heide is a deterministic one. B.t.w. I am also not very excited about his result. Had he shown this for the size (not for just for depth = time), we would already have

N P \subseteq P / p o l y

$NP\subseteq P/poly$ . Still, this is one of THE results.

— Stasys

@Kaveh: But NP itself is a big OR of P. The "time version" of P vs. NP is: can we replace this big OR by a deterministic algebraic decision tree of polynomial depth (with P on the leaves)? Recall that the trivial depth for Subset-Sum is 2^n (not n). Dopkin and Lipton (1978) showed that depth n^2/2 is necessary, and it was widely believed that this can be improved to n^k for any k. Mayer auf der Heide refuted this belief: k=5 is enough. Thus, non-uniformity CAN help, if we are interested in depth (time).

— Stasys