？的固定深度表征。

这是关于电路复杂性的问题。（定义在底部。）

Yao和Beigel-垂井表明，每大小的电路族具有大小的等效电路族深度的2，其中输出门是对称函数和所述第二级包括的的栅极 $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$ 扇入这是电路系列的一个相当显着的“深度崩溃”：从深度为100的电路，您可以将深度减小到2，而只有一个拟多项式爆炸（并且顶部只有一个奇特但受限制的栅极）。

我的问题：有没有类似的表达电路族的已知方法？更长远的目标，怎么样的电路的家人吗？可能的答案将具有以下形式：“ 大小为每个电路都可以由深度为2的大小为的二族来识别，其中输出门是型的函数，而第二级门的类型是 ”。 $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

不必一定是深度2，任何固定深度的结果都会很有趣。证明每个电路可以由仅由对称功能门组成的电路在深度3中表示，将非常有意思。 $TC^0$

一些小发现：

如果，则对于任何布尔函数来说答案都是微不足道的（我们可以将任何函数表示为 s 的）。为了具体起见，我们要求。 $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
如果允许或是可在计算的任意函数，答案也很简单：:)我显然对“简单”函数感兴趣，无论这意味着什么。由于有些对称函数族是不可计算的，因此定义起来有点麻烦。（有些一元语言是无法计算的。）如果愿意，您可以在语句中简单地用对称函数替换和，但是我对其他各种精巧的Gates 感兴趣。 $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

（现在简要回顾一下符号：

是由家庭的无界扇入深度不变电路与识别的类，，和门对于恒定独立电路尺寸。一个门返回前提是其输入的总和可被整除。 $ACC^0$ $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

是具有无限扇入的门的恒定深度电路识别的类。 $TC^0$ $MAJORITY$

是对数深度电路识别的类别，其中，，门为扇入式扇入。 $NC^1$ $AND$ $OR$ $NOT$

众所周知，当电路尺寸被限制为在输入的数目的多项式函数）。 $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
source

注意，由对称门组成的多项式尺寸深度

电路可以通过由MAJ门组成的多项式尺寸深度

电路来计算。（这里的尺寸通常是电线的数量）。因此，基本上，您是在问

可以降低到其深度？

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2010年

是的，这是一种查看方式！通常，我正在寻找

或

任何有趣的固定深度模拟。

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— 瑞安·威廉姆斯

瑞安，我看不到您在这里寻求什么样的答案。如果您真的在谈论对称门，那么（因为可以通过深度二的多数来模拟），您的问题等同于TC0塌陷至恒定深度（也许会有一些轻微的超多项式大小增加）-这是众所周知的开放的问题。如果您愿意“放松”对称性，那么巴灵顿的结果似乎就如您所希望的那样好？

— 诺姆

@Noam：我想看看是否还有其他有趣的答案；如果没有的话，我会把300给兰斯。也存在中间可能性，例如，深度三电路在输出端具有对称功能，但在其他两层上不一定对称。无论如何，让您思考5分钟已经是300英镑的赏金了。

— 瑞安·威廉姆斯

现在（11月8日之后），我们知道了这个问题的起源...

— slimton 2010年

$TC^0$ $AC^0$ $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

$x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

$\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

既然如此，正如Boaz在他的回答中指出的那样，算术电路的深度是不平凡的，这可能值得研究。

— 克里斯托弗·阿恩斯费尔特·汉森
source

$NC^1$

— 兰斯·福特诺
source

我同意巴灵顿定理在这里暗示了一些有趣的东西。但是此输出门是一个非常“非对称”的功能:)

— Ryan Williams 2010年

实际上，您似乎得到了一个深度为1的电路...将一个排列表示为（例如）一个5x5布尔矩阵，它只是对排列乘法门的投影。

— 诺姆

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— 波阿斯·巴拉克（Boaz Barak）
source

T C^{0}

$TC^0$

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

克里斯托弗，您可以将链接添加为单独的答案吗？谢谢！

— 瑞安·威廉姆斯

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$