AC0函数的公式大小下限

题：

什么是AC ^0中显式函数的最著名公式大小下限是多少？是否存在一个下限为的显式函数 $\Omega(n^2)$ ？

背景：

像大多数下限一样，公式大小的下限也很难获得。我对标准通用门集{AND，OR，NOT}上的公式大小下限感兴趣。

对于此门集上的显式函数，最著名的公式大小下限是对于由Andreev定义的函数。霍斯塔德（Håstad）显示了此界限，从而改善了安德列夫（Andreev）的下界。另一个明确的下限是奇偶校验函数的Khrapchenko的下界。 $\Omega(n^{3-o(1)})$ $\Omega(n^{2.5-o(1)})$ $\Omega(n^2)$

但是，这两个功能不在AC ^0中。我想知道我们是否知道AC ^0中具有显式下限（或更佳）的显式函数。我知道的最佳界限是元素差异函数的下界，如Nechiporuk所示。请注意，元素唯一性函数位于AC ^0中，因此我正在寻找比更好，最好是的显式AC ⁰函数的下限。。 $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2)$

进一步阅读：

Stasys Jukna撰写的有关该主题的出色资源是“布尔函数复杂性：高级与前沿”。这本书的草稿可在他的网站上免费获得。

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
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由于缺乏超线性lowerbounds的原因而功能是某种自我还原为

AC0 $AC^0$

AC0 $AC^0$ 的功能呢？也就是说，如果我们有一个

n1+ϵ $n^{1+\epsilon}$ 下界（其中

ϵ $\epsilon$ 不依赖于深度），那么我们将获得一个超级多边形下界。

— 卡夫

@Kaveh：我不确定我是否理解。对于的函数，我们已经有一个下界（元素唯一性）。

Ω(n2/logn) $\Omega(n^2/\log n)$

AC0 $AC^0$

— 罗宾·科塔里

抱歉，将超线性替换为超二次。我的意思类似于 Allender-Koucky结果。的指数可能更大。这样的结果可以解释为什么很难为函数找到下限。

TC0 $TC^0$

AC0 $AC^0$

— 卡夫

在Turing降低下，对于，完成的所有问题似乎都可以很强地自我还原，但是由于自我降低的大小可能是多项式的，因此这似乎并没有达到我的期望。

AC0 $AC^0$

NC0 $NC^0$

— 卡夫

Answers:

一个好问题！赫拉普琴科绝对不能给出函数的二次下界。实际上，他的下限至少是平均灵敏度的平方。并且所有函数均具有对数平均灵敏度。Subbotovskaya-Andreev显然也不能提供这样的功能，因为他们使用的参数（随机限制会导致更小的公式）恰恰是迫使电路尺寸较大的原因。哈斯塔德的转换引理（我不太确定，只是一种直觉）。唯一的希望是内希普鲁克。但是由于信息论的原因，他的论点不能给出。因此，是否可以是所有内容 $AC^0$ $AC^0$ $AC^0$ $n^2/\log n$ $AC^0$ 是否具有平方（甚至更小）的公式？我不相信它，但无法快速找到反例。

实际上，Allender-Koucky现象也出现在其他情况下-图的复杂性。假设有变量的电路表示顶点上的二分图，如果对于每个具有两个精确的1的输入向量来说，位置和（，）电路接受当且仅当顶点和是在相邻的。问题：显示一个显式图至少需要 $2n$ $n\times n$ $G$ $V=\{1,\ldots,2n\}$ $a$ $i$ $j$ $i\leq n$ $j>n$ $a$ $i$ $j$ $G$ $G$ $n^{\epsilon}$ 门用单调电路表示。似乎是一个无辜的问题（因为大多数图需要大约门。但是任何这样的图都会给我们提供变量的布尔函数，需要具有超线性大小的非单对数深度电路（因此，即使证明深度3电路的下界也可能是一个挑战。 $\Sigma_3$ $n^{1/2}$ $2m=2\log n$ $n^{\epsilon}$

— Stasys
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欢迎使用cstheory。：）（顺便说一句，您的新书看起来很有趣，很遗憾，我不是英语为母语的人，所以无法帮助对其进行校对。）

— Kaveh，

实际上，对内容/引用等的任何评论/批评在这一点上也非常重要。当前版本在这里。用户名：密码的朋友：catchthecat

— STASYS

谢谢:)我将阅读有关命题证明复杂性的最后几章。

— 卡夫

非常感谢您的回答！如果您确实想到

中的一个函数，而您猜想需要一个

大小的公式，那么我将很想知道。AC0 $AC^0$

Ω(n2) $\Omega(n^2)$

— 罗宾·科塔里

谢谢，Kaveh，希望看到有关证明复杂性的章节！

关于Robin的问题，首先注意包含对于任何常数需要大小为公式（甚至电路）的函数。例如，这是基于一个简单的事实，即包含所有DNF且具有不断长的单项式单体。因此，对于任何，至少包含不同的函数。另一方面，我们最多可以通过大小为的公式计算出函数 $AC^0$ $n^k$ $k$ $AC^0$ $AC^0$ $\exp(n^k)$ $k$ $\exp(t\log n)$ $t$ 。

我不久就讨论了使用Igor Sergeev（来自莫斯科大学）获得明确的或更大下限的问题。一种可能是使用Andreev的方法，但将其应用于另一种更容易计算的函数而不是奇偶校验。也就是说，考虑变量的函数，形式为，其中，是的函数 $n^2$ $n$ $F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$ $b=\log n$ $g$ of变量；是变量的某些最复杂的函数（仅存在就足够了）。我们仅需要函数在以下意义上不能被“杀死”：如果我们在固定除变量之外的所有变量，那么必须固定除剩余变量之一之外的所有变量，以便获得子函数是单个变量。然后施加安德列夫的论点和使用Hastad的结果是收缩常数为至少（不只是 $AC^0$ $n/b$ $f$ $b$ $f$ $g$ $k$ $X$ $g$ $g$ $2$ $3/2$ （如Sybbotovskaya所示），下界约为。当然，我们知道，在每一个功能可以通过固定所有，但被杀死变量，对于某一常数。但是为了得到一个下界就足够找到一个明确的功能不能被固定均可，说被杀死， $F(X)$ $n^3/k^2$ $AC^0$ $n^{1/d}$ $d\geq 2$ $n^2$ $AC^0$ $n^{1/2}$ 变量。一个人应该在深度上搜索大于2的这种功能。

实际上，对于上述函数，可以通过简单的贪婪参数，没有Nechiporuk，没有Subbotovskaya和没有随机限制来获得大约下界！为此，“内部函数” g（Y）不平凡就足够了（取决于其所有变量）。此外，该界线适用于常数扇动门的任何基础，而不仅仅是De Morgan公式。 $F(X)$ $n^2/\log n$ $n/b$

证明：给定具有叶子的的公式，请在每个块选择一个出现次数最少的变量作为叶子。然后将所有剩余变量设置为相应的常数，以使每个变为变量或其取反。然后将获得的式将是至少倍小比原来的公式。因此，至少为 $F(X)$ $s$ $X_i$ $g(X_i)$ $n/b$ $s$ $n/b=n/\log n$ 次式大小的，即，。优质教育 $2^b/\log b=n/\log\log n$ $f$ $s\geq n^{2-o(1)}$

要获得或更大，必须在随机限制下合并Subbotovskaya-Hastad收缩效果。一个可能的候选人可以通过Hastad使用Sipser的功能的一些版本表明深度- 电路比深度的更强大。 $n^2$ $(d+1)$ $d$

— Stasys
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