Questions tagged «formulas»

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最小化多项式公式大小的复杂性
令是变量的多项式,其中是常数(例如2或3)。我想找到的最小公式,其中“公式”和“公式大小”以明显的方式定义(例如,多项式的最小公式是)。f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\dots,x_n)dddnnnF2F2\mathbb{F}_2dddfffx1x2+x1x3x1x2+x1x3x_1 x_2 + x_1 x_3x1(x2+x3)x1(x2+x3)x_1(x_2+x_3) 这个问题的复杂性是什么-难解决NP吗?复杂度取决于吗?ddd [更正式地说,公式(又称“算术公式”)是一棵有根的二叉树,其每一个叶子都用输入变量或常数1标记。树的所有其他顶点都用或标记。公式的大小是使用的叶子数。公式递归计算多项式:顶点计算上其子项的总和,顶点计算乘积。]+++××\times+++F2F2\mathbb{F}_2××\times

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AC0函数的公式大小下限
题: 什么是AC 0中显式函数的最著名公式大小下限是多少?是否存在一个下限为Ω (n 2)的显式函数Ω(n2)\Omega(n^2)? 背景: 像大多数下限一样,公式大小的下限也很难获得。我对标准通用门集{AND,OR,NOT}上的公式大小下限感兴趣。 对于此门集上的显式函数,最著名的公式大小下限是对于由Andreev定义的函数。霍斯塔德(Håstad)显示了此界限,从而改善了安德列夫(Andreev)的下界。另一个明确的下限是奇偶校验函数的Khrapchenko的下界。Ω (n 3 - o (1 ))Ω(n3−o(1))\Omega(n^{3-o(1)})Ω (n 2.5 - o (1 ))Ω(n2.5−o(1))\Omega(n^{2.5-o(1)})Ω (n 2)Ω(n2)\Omega(n^2) 但是,这两个功能不在AC 0中。我想知道我们是否知道AC 0中具有显式下限(或更佳)的显式函数。我知道的最佳界限是元素差异函数的下界,如Nechiporuk所示。请注意,元素唯一性函数位于AC 0中,因此我正在寻找比更好,最好是的显式AC 0函数的下限。。Ω(n2/logn)Ω(n2/logn)\Omega(n^2/\log n)Ω(n2/logn)Ω(n2/logn)\Omega(n^2/\log n)Ω(n2)Ω(n2)\Omega(n^2) 进一步阅读: Stasys Jukna撰写的有关该主题的出色资源是“布尔函数复杂性:高级与前沿”。这本书的草稿可在他的网站上免费获得。

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最短等效CNF公式
令为具有变量和子句的可满足 CNF公式。让是解空间。F1个F1个F_1m S F 1 F 1ññn米米m小号F1个小号F1个S_{F_1}F1个F1个F_1 考虑确定的,给出的问题,另一个CNF式与同一组的变量,与(相同的溶液空间),但以尽可能少的条文,可能的(唯一目的是最大程度地减少子句的数量,因此每个子句可能具有多少个文字不相关)。F 2 F 1 S F 2 = S F 1 F 1F1个F1个F_1F2F2F_2F1个F1个F_1小号F2= SF1个小号F2=小号F1个S_{F_2} = S_{F_1}F1个F1个F_1 题 有没有人已经调查过这个问题?文献中对此有什么结果吗? 例如,考虑以下CNF公式(每行是一个子句): F1个F1个F_1 X 2 ∨ X 3 ∨ X 4 ¬ X 1 ∨ X 2 ∨ X 4 ¬ X 1 ∨ X 2 …

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完整二进制基础上一次读取式的表征
背景 一组门(也称为基础)上的一次读取公式是每个输入变量出现一次的公式。通常在De Morgan基础(具有2位门AND和OR,以及1位门NOT)和全二进制基础(具有所有2位门)的基础上研究一次读取公式。 因此,例如,2位的AND可以在任何一个基础上写为一次读取公式,但2位的奇偶校验不能在De Morgan基础上写为一次读取公式。 可以在De Morgan基础上作为一次写入公式编写的所有函数的集合具有组合特征。参见,例如,M.Karchmer,N.Linial,I.Newman,M.Saks,A.Wigderson 的一次式的组合表征。 题 是否可以通过一次读取公式在完整的二进制基础上计算的函数集进行替换表征? 较简单的问题(在v2中添加) 尽管我仍然对原始问题的答案感兴趣,但是由于没有收到任何答案,我想我会问一个更简单的问题:在整个二进制基础上,哪些下限技术可用于公式?(除了我在下面列出的那些。) 请注意,现在我正在尝试降低公式大小的下限(=叶数)。对于一次读取的公式,我们的公式大小=输入数量。因此,如果您可以证明函数需要大小严格大于n的公式,那么这也意味着该函数不能表示为一次读取的公式。 我知道以下技术(以及Boolean Function Complexity:Stasys Jukna的Advances and Frontiers中的每种技术的参考): Nechiporuk的通用函数方法(第6.2节):显示特定函数的大小下限。但是,这无法帮助您找到您可能感兴趣的特定功能的下限。ñ2 − o (1 )ñ2-Ø(1个)n^{2-o(1)} Nechiporuk定理使用子函数(第6.5节):从某种意义上说,这是一种适当的下界技术,它将为您感兴趣的任何函数提供一个下界。例如,它表明在表示该函数的完整二进制基础上的任何公式元素唯一性函数的大小为。(这是该技术可以证明的最大下界-对于任何功能。)Ω (n2/日志n )Ω(ñ2/日志⁡ñ)\Omega(n^2/\log n)

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对于任何两个非同构图
我想很具体。有谁知道以下论点的反驳或证明: ∃p∈Z[x],n,k,C∈N,∃p∈Z[x],n,k,C∈N,\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N}, ∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H), ∃φ∈L(Σgraph),∃φ∈L(Σgraph),\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}), |φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi. 直观地讲,如果可以使用“ local”语句来区分所有非同构图,那么这应该是正确的,并且我想这是错误的。当然,可以使用多项式量词深度来区分任何图,因为您只需指定图的模同构即可:Clog(n)kClog(n)kClog(n)^k φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈V2G∣i≠jxi≠xj).φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈VG2∣i≠jxi≠xj).\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists …

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n项单调CNF的最短公式
甲单调CNF式与米术语n个变量()是具有以下形式的公式˚F (X 1,... ,X Ñ)= ⋀ Ç 我,其中每个Ç 我是一些子集的OR变量x 1,… ,x n和i的范围是1到m。x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots,x_nf(x1,…,xn)=⋀Cif(x1,…,xn)=⋀Cif(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_iCiCiC_ix1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots,x_niii111mmm 例如,是单调CNF式对4个变量2项条款。(x1∨x3∨x4)∧(x2∨x4)(x1∨x3∨x4)∧(x2∨x4)(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4) 我在同一组变量上寻找最短的公式(不一定是单调的,不一定是CNF,任何公式都可以!),它代表n个具有n个项的给定单调CNF公式的功能相同。(请注意,术语和变量的数量相同。) 构造公式的一种明显方法是扩展给定的CNF定义,这将为我们提供大小为的公式。(让我们将公式的大小定义为以字符串形式记录下来时公式的长度。)我想知道这是否是最有效的一般结构,或者对于每个n项单调CNF是否都存在一个公式大小为o (n 2)。O(n2)O(n2)O(n^2)o(n2)o(n2)o(n^2) 我只是想知道这是否可行,我对算法并不真正感兴趣。如果这不可能,那么用作反例的函数将是很棒的。我在文献中可以找到答案的指针也受到赞赏。 编辑:我正在添加一个示例,以使薄片更清晰。 说输入函数式是。这是单调CNF公式。其表示相同功能的一个较短的公式如下:X 1 ∨ (X 2 ∧ X 3 ∧ ... ∧ X Ñ)。f=(x1∨x2)∧(x1∨x3)∧…∧(x1∨xn)f=(x1∨x2)∧(x1∨x3)∧…∧(x1∨xn)f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee …
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