对于任何两个非同构图

我想很具体。有谁知道以下论点的反驳或证明：

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

直观地讲，如果可以使用“ local”语句来区分所有非同构图，那么这应该是正确的，并且我想这是错误的。当然，可以使用多项式量词深度来区分任何图，因为您只需指定图的模同构即可： $Clog(n)^k$

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

编辑：所以看来我的位置直觉是错误的。量词深度公式具有由界定的Gaifman局部性，这意味着对数深度公式基本上是全局的。出于这个原因，我有一种预感命题会变成是真的，这将是很多困难在我看来证明。 $k$ $O(3^k)$

— 塞缪尔·施莱辛格
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那条路径和两条长度均为断开连接的路径如何

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$

— 塞缪尔·施莱辛格

该路径只有两个度数为节点，两个路径有四个度数。即，它们可以通过恒定大小的公式来区分。与一个圆圈相比，一个圆圈可能会带来更好的运气，但我认为可以通过量词等级的公式来区分它们。

1

$1$

O (\log n)

$O(\log n)$

— EmilJeřábek'17 October

如果高大的树木靠近树叶，则可能会引起反驳。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon），

@EmilJeřábek在没有平等的情况下是真的吗？

— 塞缪尔·施莱辛格

@StellaBiderman不等式的公式的真相通过同构同义来反映（即，以两种方式保持关系）。例如，在图的情况下，没有边缘的任何两个图满足相同的句子。更一般而言，一个人可以拍摄任何图形，并将任何顶点分解为一个独立的集合。

— EmilJeřábek'17

感谢我的同事马克西姆·朱可夫斯基（Maxim Zhukovskii）提出的答案。

事实证明，答案是否定的，反例非常简单。只需将和取和，对于，。（此处是 -clique，是孤立顶点的集合）。通过考虑Ehrenfeucht博弈，可以证明在第一种情况下最小可能深度为，在第二种情况下为。 $G=K_m\sqcup \overline{K_m}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$ $n=2m$ $G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$ $n=2m+1$ $K_s$ $s$ $\overline{K_s}$ $s$ $m$ $m+1$

Oleg Pikhurko，Helmut Veith和Oleg Verbitsky 在论文“图的一阶可定义性：量词深度的上限”中指出，该边界几乎是紧密的，并且任何两个顶点图都可以通过深度公式来区分。 $n$ $\frac{n+3}{2}$

— 丹尼尔·穆萨托夫（Daniil Musatov）
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