最小化多项式公式大小的复杂性

28

令是变量的多项式，其中是常数（例如2或3）。我想找到的最小公式，其中“公式”和“公式大小”以明显的方式定义（例如，多项式的最小公式是）。 $f(x_1,\dots,x_n)$ $d$ $n$ $\mathbb{F}_2$ $d$ $f$ $x_1 x_2 + x_1 x_3$ $x_1(x_2+x_3)$

这个问题的复杂性是什么-难解决NP吗？复杂度取决于吗？ $d$

[更正式地说，公式（又称“算术公式”）是一棵有根的二叉树，其每一个叶子都用输入变量或常数1标记。树的所有其他顶点都用或标记。公式的大小是使用的叶子数。公式递归计算多项式：顶点计算上其子项的总和，顶点计算乘积。] $+$ $\times$ $+$ $\mathbb{F}_2$ $\times$

cc.complexity-theory formulas

— 阿什莉·蒙塔纳罗（Ashley Montanaro）
source

1

我们不能减少多项式身份测试到这个问题吗？

— 卡夫

4

我想可能存在联系，但我没有立即看到它-特别是由于程度的限制。此外，如果该问题比多项式恒等性检验更困难，那么知道有多少困难会很有趣。

— Ashley Montanaro

在您的情况下，公式中的门数（ s和）与实际公式大小有何关系？对于

，Ehrenfeucht和Karpinski 90中的构造似乎与“门”式大小相关（请参阅2XOR段落），但我必须考虑更长的时间。

+

$+$

\times

$\times$

d = 2

$d=2$

— 亚历山德罗·科森蒂诺

由于公式是二叉树，因此我在这里使用的公式大小的定义（叶数）等于门数（内部顶点）加一。但我对公式大小的任何其他合理定义也可能会对任何结果感兴趣。我不确定我是否会看到Ehrenfeucht和Karpinski的结果，因为这些都是关于计算解决方案的复杂性，而不是最小化公式的大小……

— Ashley Montanaro

为了计算零的数目，他们首先将公式转换为等效的零，我记得在乘法和加法方面是最小的。但是，我没有这种最小化的证明。同样，这将仅回答

的情况。

d = 2

$d=2$

— 亚历山德罗·科森蒂诺

7

您可以将co-NP-Complete TAUTOLOGY问题（给定布尔公式，是否是重言式？）减少到最小化公式大小的问题（因为公式是重言式，因为它等同于TRUE）。此外，3DNF的TAUTOLOGY（类似于3CNF的SAT）是共NP-完全的。

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
source

1

据我了解的问题，

应该作为多项式而不是函数来计算。也许需要澄清。

f

$f$

— MarkusBläser2011年

3

给定GF（2）上的deg-3多项式，从3SAT到检查有一个概率递减（通过查看子句的随机线性组合）是否为零，然后从给定deg-的度数减少到检查GF（2）上的3个多边形，是否全零[通过从1减去多边形]。

— Dana Moshkovitz

1

谢谢！您是否知道2级多项式的情况？同样（尽管这可能非常密集），我正在努力查看以标准形式编写的GF（2）的3次多项式如何可以全零而不是零多项式。明确地说，我在想我问题的输入是对多项式本身的描述，而不是对计算多项式的电路的描述。

— Ashley Montanaro

2

再次感谢您的回复。不过，我仍然不相信全零。在我看来，只要通过替换

，就可以很容易地将GF（2）上具有poly（n）项的所有n变量多项式转换成标准形式，在该形式中，多项式是否为零是显而易见的并收集条款。

x^{k} \to x

$x^k \rightarrow x$

— Ashley Montanaro

4

的确，如果按照描述的那样使它成为多线性的，则多项式在每个输入上的求值为零，前提是它是零多项式。一个证明：选择最小度的非零单项式M。将所有其他变量设置为零。唯一幸存的单项式是M。通过将M中的var设置为1，您可以获得非零输出。

— Manu

4

答案不尽相同，但希望能对您有所帮助：

如果您想知道多项式的最小公式，而不仅仅是1 多项式的最小公式，那么这个问题对于d = 2应该已经是NP难题了。证明是如下：存在之间一对一的对应关系Ñ双线性式（型的式和张量3种矩阵，即元素）。这样矩阵的张量秩就是n个双线性公式的乘法复杂度。 $n$ $\sum a_{ij}x_iy_j$ $F_2^n\otimes F_2^n\otimes F_2^n$

已知张量等级是NP-hard问题（近似张量等级也是NP-hard）。因此，个双线性公式的乘法复杂度是NP难题 $3$ $n$

— 克里姆
source

2

谢谢！这是关于这个问题的有趣观点。

— Ashley Montanaro

以下定理有助于从许多多项式转换为一个多项式：LEt S（f）一个多项式的复杂度，然后计算其所有导数的复杂度最多为5S（f）。因此，复杂度多项式

几乎等于

复杂度

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}

$f_1, f_2,\ldots,f_n$

z_{1} f_{1} + z_{2} f_{2} \dots z_{n} f_{n}

$z_1f_1+z_2f_2\ldots z_n f_n$

— Klim

如果您谈论张量等级，那么您仅在计算乘法，而不是加法。

的情况，那么只有一种双线性形式很容易，因为可以使用Ramprasad的答案中提到的结构定理来计算一种双线性形式的秩。（这些定理的证明是算法的，请参见Lidl＆

d = 2

$d = 2$

— Niederreiter

2

任何对此的答案在很大程度上取决于答案中所允许的词汇。如果您想用与输入相同的语言（即多项式）来回答，则可以得到一组答案，这是其他张贴者苦苦挣扎的答案。

但是，如果您允许扩大答案词汇量，则可能会发生奇妙的事情。您可以看到一个符号与自动微分的示例：在符号微分中，仅允许“表达式”，这往往会严重恶化；在自动微分中，允许在答案中使用直线程序（即使输入是表达式），这也大大有助于控制表达式的膨胀。对于单变量多项式，我和詹姆斯·达文波特（James Davenport）沉思您还需要将循环多项式作为基本词汇的一部分（请参阅参考资料，以了解为什么这些多项式似乎是唯一真正的爆炸源，以及显示多项式问题之间各种可约性结果的论文）和3SAT）。

换句话说，如果您允许自己将答案视为与经典答案略有不同，那么您可能只能得到一个完全不同的答案，即复杂度更高。这取决于您提出问题的原始动机，是纯粹出于理论上的考虑还是出于应用目的，来决定您是否可以接受这种词汇上的差异。在James和我一直在考虑这种情况（符号计算）的情况下，调整词汇表以降低复杂度是完全可以接受的（尽管很少这样做）。

— 雅克·卡特
source

问题要求最小的算术公式，然后明确定义。因此，我不确定此答复是否直接相关。此外，Dana Moshkovitz的上述答案以及相关评论未正确回答评论中已确认的问题。

— 拉斐尔

我的回答是，OP可能不会意识到他们并不一定要问最好的问题。OP的问题用非常经典的术语提出，但是如果您对此稍加偏离，则会得到完全不同的答案，这可能出乎意料。我理解您的意见，但觉得反对意见有些苛刻。

— 雅克·卡莱特

您可以更正答案的第一段，以明确问题尚未得到正确回答吗？我担心人们会误导。

— 拉斐尔

1

@Raphael：完成了。并进一步澄清事情。

— 雅克·卡莱特

0

通用电路/公式的最小化肯定比标识测试更难，因为任何标识的最小公式大小只是零。至于难度有多大，我没有确切的答案，但也许在算术电路/公式中研究的“重构算法”可能与此类似。

在这些情况下，您将被告知一个黑匣子，并被告知这是类（例如深度电路）中的一个公式。目的是在（接近）构造黑盒的表示形式。通常，大多数重建结果都假设针对类，随机性，有时还包括其他类型的查询进行了黑盒身份测试。这种重构算法可用于某些受限的电路类别，但不适用于我们知道黑盒PIT的所有类别。Shpilka和Yehudayoff 对算术电路进行了出色的调查（pdf），其中一章完全涉及重构算法。 $\mathcal{C}$ $3$ $\mathcal{C}$

但是在您的情况下，您说是一个常数，因此即使输入是黑盒，也存在重构稀疏多项式的算法。因此，在这种情况下，上面的注释也许不太有趣。 $d$

同样，在的情况下，存在二次方程的结构定理。在变量的线性变换下，任何二次项都可以的形式重写。Bogdanov和Viola使用此属性为低次多项式（pdf）构造PRG（其论文的引理17）。 $d=2$ $x_1x_2 + x_3x_4 + .. + x_{2k-1}x_{2k} + \ell$

— 兰普拉萨德
source

感谢您的意见。可悲的是，我没有看到如何使用这些想法来解决最初的问题。

— Ashley Montanaro