单调量子电路的一个概念

在计算复杂度方面，单调计算与常规计算之间存在重要区别，Razborov的一个著名定理断言在单调布尔电路模型中3-SAT甚至MATCHING都不是多项式。

我的问题很简单：是否有用于单调电路（或多个）的量子模拟？有量子拉兹伯罗夫定理吗？

您实际上是在问两个不同的问题，希望有一个回答可以回答两个问题：（1）量子单调电路的自然概念是什么？（2）基于晶格的Razborov型量子结果将是什么样？

如何同时实现这两个目标尚不明确，所以我将描述对我而言似乎是量子单调电路的合理概念（不指示是否存在相应的Razborov结果），以及与之完全不同的概念。 “自然”的量子Razborov猜想是什么样子的（没有指出它是否可能是真的）。

我们想要从量子中得到什么

正如我在评论中指出的那样，我认为没有必要试图将单调电路的概念压缩为单一性的模型。无论是随着时间的发展不需要保留标准基础，还是存在可能纠缠结果的多种测量基础，我都认为量子计算的必要条件是标准基础不是唯一的基础。即使在产品状态中，它在某些实现中也仅通过选择参考框架来定义。

我们必须做的是考虑事物，以使其摆脱传统特权基础的标准基础，或者在这种情况下，在保留有意义的单调性概念的前提下，尽可能地做到这一点。

量子单调电路的简单模型

考虑一个电路模型，该模型隐含在伊藤刚对“单调量子通道”的评论中（如果想要一个不限于单一演化的“电路”概念，这几乎是必须要做的）。

令为C 2上的Hermitian算子的空间（这样它就包含一个量子位上的所有密度算子）。我们如何定义一个量子单调栅极ģ：ħ一个 ⊗ ħ b → ħ Ç从两个输入量子位一个，b到输出量子位Ç，在这样一种方式，它是不能有效经典单调栅极？我认为直截了当地说输出不应该限于| 0 $\mathbf H$$\mathbb C^2$$\mathsf G: \mathbf H_a \otimes \mathbf H_b \to \mathbf H_c$$a,b$$c$或 | 1 $|0\rangle\!\langle 0|$，或它们的混合物；bu为“单调”，我们应要求 require 1 $|1\rangle\!\langle 1|$和 ⟨1$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_a}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$增长，价值⟨1| ģ（ρ一个b）| 1⟩必须是非下降。对于两输入量子比特门，这意味着G原则上必须可实现为$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_b}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$$\langle 1 | \mathsf G(\rho_{ab}) | 1 \rangle$$\mathsf G$

1. 相对于一些标准正交基进行双量子位测量，其中| μ ⟩ ，| ν ⟩跨越汉明权重1的子空间，并且$\{ |00\rangle, |\mu\rangle, |\nu\rangle, |11\rangle \}$$|\mu\rangle,|\nu\rangle$

2. 产生作为输出一些状态对应于它测得的结果，其中⟨ 1 | ρ 00 | 1 ⟩ ⩽ ⟨ 1 | ρ λ | 1 ⟩ ⩽ ⟨ 1 | ρ 11 | 1 ⟩每个。$\rho \in \{ \rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11} \}$$\langle 1 | \rho_{00} | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_\lambda | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_{11} | 1 \rangle$$\lambda \in \{ \mu, \nu \}$

电路仅仅是这些电路的明智组合。我们也可以允许扇出，其形式为将和统一嵌入的电路形式；我们至少应该允许在输入中使用这些映射，以允许复制每个（名义上经典的）输入位。| 1 ⟩ ↦ | 11 ⋯ 1 $|0\rangle \mapsto |00\cdots 0\rangle$$|1\rangle \mapsto |11\cdots 1\rangle$

考虑此类门的整个连续性或限制此类门的有限集合似乎是合理的。任何选择都会给电路带来不同的“量子单调门基础”。可以考虑不同的单调碱基的性质。状态可完全独立地选择，但须单调性约束; 这无疑将是有趣的（也可能是实际的绑定错误）来设置ρ 00 = | 0 $\rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11}$和 ρ 11 = | 1 $\rho_{00} = |0\rangle\!\langle 0|$，尽管我认为理论上没有理由要求这样做。显然AND和OR是这种类型，的栅极，其中 ρ μ = ρ ν = | 0 $\rho_{11} = |1\rangle\!\langle 1|$和 ρ μ = ρ ν = | 1 $\rho_\mu = \rho_\nu = |0\rangle\!\langle 0|$分别选择或作为。$\rho_\mu = \rho_\nu = |1\rangle\!\langle 1|$| ν $|\mu\rangle$$|\nu\rangle$

最大值| ψ ⟩ ＆Element; V$\mathsf G: \mathbf H^{\otimes k} \to \mathbf H$$\mathcal V_w \leqslant \mathcal H_2^{\otimes k}$$0 \leqslant w \leqslant k$0 ⩽ 瓦特<

$$\max_{|\psi\rangle \in \mathcal V_w}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle \;\;\leqslant\;\; \min_{|\psi\rangle \in \mathcal V_{w+1}}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle$$ $0 \leqslant w < k$

我不知道关于经典电路之外的此类电路是否还有什么有趣的说法，但是在我看来，这是“量子单调电路”最有希望的候选定义。

Razborov结果的量子变体

考虑由蒂姆·高尔斯博览会成果的阿龙和Boppana（1987），Combinatorica 7第1-22利于增强Razborov的结果（并使得他的技术明显一些）为集团的单调的复杂性。Gowers从一组“半空间”，以递归构造一组集合的形式来表示这一点每个的布尔立方体的。如果我们删除基集中标准基础的特权位置，则类似于QuantumLovászLocal Lemma，我们可以考虑的子空间。 1 ⩽ Ĵ ⩽ ñ ħ ⊗ Ñ 2 Ñ 甲 Ĵ ⩽ ħ ⊗ Ñ 2 甲 Ĵ = û Ĵ È

$$E_j = \Bigl\{ \mathbf x \in \{0,1\}^n \;:\; x_j = 1 \Bigr\}$$ $1 \leqslant j \leqslant n$$\mathcal H_2^{\otimes n}$对应于可能因测量而产生的二元命题（状态属于子空间还是与其正交）。例如，我们可以考虑个子空间由 我们允许子空间的合取和合取的量子逻辑类似物： $n$$\mathcal A_j \leqslant \mathcal H_2^{\otimes n}$甲 ∧乙 =甲 ∩乙 ; 甲 ∨乙 =甲 +乙 = {一个 + $$\begin{align*} \mathcal A_j = U_j \mathcal E_j \;, & \text{ for each $1 \leqslant j \leqslant n$} \\ \text{where } &\mathcal E_j := \Bigl\{ | \mathbf x \rangle \;:\; \mathbf x \in E_j \Bigr\} ; \\ &U_j : \mathcal H_2^{\otimes n} \to \mathcal H_2^{\otimes n} \text{ a unitary of bounded complexity}. \end{align*}$$ ÇΠÇÇΠķ（[R ）- [R‖ΠÇ-Πķ（[R ）‖∞ $$\begin{gather*} \mathcal A \wedge \mathcal B = \mathcal A \cap \mathcal B ; \\ \mathcal A \vee \mathcal B = \mathcal A + \mathcal B = \Bigl\{ \mathbf a + \mathbf b \,:\, \mathbf a \in \mathcal A\;,\; \mathbf b \in \mathcal B \Bigr\} . \end{gather*}$$ 然后我们问，要获得空间需对空间的合取和析取进行递归构造，以使投影仪到与投影仪略有不同到由大小为群体的图的指标函数所跨越的空间; 例如，这样$C$$\Pi_C$$C$$\Pi_{K(r)}$$r$$\| \Pi_C - \Pi_{K(r)} \|_\infty <\; 1/\mathrm{poly}(n)$。单调部分涉及量子逻辑运算，而关于输入的原始命题也是量子。

在一般情况下，将其视为计算问题是有问题的：析取不对应于可以通过对和进行黑盒测量而对有限份数进行测量而确定地获得的任何知识。，除非它们是通勤投影仪的图像。这个一般问题仍然可以看作是关于几何组合复杂性的有趣结果，并且可能引起与沮丧的当地汉密尔顿主义者有关的结果。但是，仅要求子空间可能更自然B A j U $\mathcal A$$\mathcal B$$\mathcal A_j$通勤投影仪会产生这种情况，在这种情况下，分离只是这些投影仪的测量结果的经典或。然后，我们可能要求unitaries都相同，这成为一个关于一个单一的电路有问题（这引起了“原始事件”）与单调的经典后处理（其中对这些事件进行逻辑运算）。$U_j$

还要注意，如果我们不对空格施加任何进一步的限制，则它可能是与某些空格有非常高的重叠的子空间，这些空格由标准基本状态跨越，这是那些二进制字符串。é ⊥ ķ X＆Element; ˉ ë ķ X ķ =$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\mathbf x \in \bar E_k$$x_k = 0$

• 如果这种可能性使您胆怯，则始终可以要求与任何具有至少（这样一来，我们的原始子空间在最坏的情况下与其中一位被设置为1的子空间几乎没有偏差）。é ⊥ ķ$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\frac{\pi}{2} - 1/\mathrm{poly}(n)$

• 如果我们不施加这样的限制，那么在我看来，承认与具有高度重叠的子空间无论如何都会成为逼近CLIQUE（r）的障碍。要么我们或多或少地被限制在考虑不存在特定边缘（而不是它的存在），要么被迫完全忽略其中一个边缘。因此，我不认为对施加任何限制并不是非常重要，除非它们的目标都是考虑如何“从简单的量子命题单调地评估CLIQUE”，否则它们全都是向的投影仪的图像。 ”。在最坏的情况下，从传统上讲，这等于在输入端不允许进行门运算（并且所有的扇出都在求反之后发生）。$\mathcal E_k^\bot$$\mathcal A_j$

再次，对我来说还不清楚是否用任意子空间替换基引起比仅使用子空间更有趣的问题；虽然如果我们将自己限制在CNF公式的情况下（无论是在通勤还是在非通勤情况下），我们得到的结果将对应于无挫折感的哈密顿量的一些复杂性概念，其基态流形由标准基组成代表集团的国家。 ë$\mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal E_j$

正如罗宾和Tsuyoshi的评论所证明的那样，单调电路的概念确实很容易扩展到量子电路。

为了对量子单调电路有一个有意义的定义，我们需要对量子状态进行排序，并据此对单调性进行定义。传统上，一种合理的选择（并导致单调电路的正常概念）是汉明权重，但让我们考虑由任意函数给出的排序。$f$

由于封闭量子系统的演化是统一的（我们可以假设由给出），因此对于每个状态使得存在一个替代状态，使得但对于，因此演化不是单调的。| ψ ⟩ ˚F （û | ψ ⟩ ）> ˚F （| ψ ⟩ ）$U$$|\psi\rangle$$f(U|\psi\rangle)>f(|\psi\rangle)$$|\phi\rangle$$f(|\phi\rangle) > f(|\psi\rangle)$$f(U|\psi\rangle)>f(U|\phi\rangle)$$U$

因此这是单调的相对于唯一的电路是那些对于所有。因此，任何关于单调的门集都由与连通的门组成。˚F （û | ψ ⟩ ）= ˚F （| ψ ⟩ ）| ψ ⟩ ˚F $f$$f(U|\psi\rangle)=f(|\psi\rangle)$$|\psi\rangle$$f$$f$

显然，可以满足此要求的一组门取决于的定义。如果为常数，则所有门集相对于它都是单调的。但是，如果在计算基础上选择作为状态的汉明权重（经典情况下使用的的某种自然扩展），则会得到一个有趣的结构。施加的限制要求汉明重量保持不变。将此金额保留为对角线操作或部分SWAP或它们的组合的操作。这种结构在物理学中经常出现（在紧密结合模型等中），类似于Aaronson和Arkhipov研究的玻色子散射问题。f f $f$$f$$f$$f$，尽管不完全相同（这是一个稍微不同的散射问题）。此外，它包含用于IQP的电路，因此经典上不应有效地进行仿真。

您在两个大领域（布尔电路和QM计算）的前沿提出了两个难度大不相同的问题，这些问题在数学中有时被称为“桥定理”：

• 单调电路的量子模拟

• Razborovs thm的量子类似物

短期坦率的回答是没有或不那么远。

对于（1），虽然不是一个难题，但显然仍然很少考虑，但确实提出了以下参考文献，可以作为文献中的一个相关案例。

Gharibian和Kempe 对量子问题的近似难度

他们在量子上下文中考虑了一些“单调”问题，例如QMSA，“量子单调最小满足分配QMSA”，即SAT QM模拟。（也是量子单调最小权重字QMW的另一个问题），并显示出一些近似的硬度结果，即下界。他们本身不考虑单调量子电路，但可以将解决单调函数 QMSA 的量子电路或算法视为QM模拟。

至于（2），如果存在，那将是一个非常高级的结果，似乎还没有“到目前为止”。Razborov的thm基本上是一个下界“瓶颈”类型的结果，被认为是（单调）电路理论中的明显突破和近乎无与伦比的结果。

因此，粗略地说是的，当然在质量管理计算中存在一些下界瓶颈，例如与直接乘积定理有关，有关调查请参见

Spalek的量子算法，下界和时空折衷

但是，可以说，更好的类似QM计算下限将对qubit运算的数量或对单调函数的基于“完整”门（例如Toffoli门）的下限。不知道这种类型的证据。

另一种方法可能是将分析限制在特殊的量子“与”或“或”门上，并添加额外的“ ancilla”位以使门可逆。