由具有AND OR和XOR门的有界深度电路描述的傅里叶系数布尔函数

令为布尔函数，并考虑f为从到的函数。用这种语言，f的傅立叶展开只是按照平方自由单项式展开f的展开。（这单项式构成上实函数空间的基础。系数平方的总和仅为因此导致了平方根自由单项式的概率分布。我们将此分布称为F分布。$f$$\{-1,1\}^n$$\{ -1,1 \}$$2^n$$\{-1,1\}^n$$1$$f$

如果f可以由多项式大小的有界深度电路描述，那么我们可以根据Linial，Mansour和Nisan的一个定理知道，F分布集中于大小的单项式，直到权重几乎成倍地变小。这源自Hastad切换引理。（最直接的证明是最好的。）$\text{polylog } n$

当我们添加mod 2门时会发生什么？要考虑的一个示例是变量上的函数，它被描述为前n个变量和后n个变量的mod 2内积。在这里，F分布是均匀的。$IP_{2n}$$2n$

问题：布尔函数的F分布是否由有界深度多项式大小AND，OR，或MOD电路描述（最大误差为超多项式小误差）集中在 “水平”上？$_2$$o(n)$

备注：

1. 一个反例的可能途径是在不相交的变量集上以某种方式“粘合”各种IP $_2k$，但我不知道该怎么做。也许应该弱化这一问题，并允许为变量分配一些权重，但是我也没有一种明确的方法。（所以提到这两个问题也是我要问的一部分。）

2. 我推测当您允许使用mod $_k$门时，对该问题（或成功的变体）的肯定回答也将适用。（所以问这个问题是由于Ryan Williams最近令人印象深刻的ACC结果。）

3. 对于多数而言，每个“级别”的F分布都很大（1 / poly）。

如Luca所示，我提出的问题的答案为“否”。剩下的问题是提出寻找布尔函数F分布属性的方法，这些属性可以由AND OR和MAJORITY不共享的mod 2门描述。

尝试通过谈论MONOTONE函数来保存问题：

问题：MONOTONE布尔函数的F分布是否由有界深度多项式大小AND，OR或MOD电路描述（最大为多项式小误差）集中在 “水平”上？$_2$$o(n)$

我们可能推测我们甚至可以用代替，因此针对此强版本的反例可能很有趣。 $o(n)$$\text{polylog} (n)$

吉尔，像这样的例子可以反吗？

令等于，并将位输入视为对，其中是m位字符串而是整数以二进制形式写在范围内。$m$$n=m+\log m$$n$$(x,i)$$x$$(x_1,\ldots ,x_m)$$i$$1,\ldots,m$

然后我们定义$f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

现在，对于每个函数f（）与傅立叶字符具有相关性，因此“级别i”至少具有质量的分数。（实际上更多，但这足够了）$i=1,\ldots,m$$1/m$$x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$$1/m^2$

f（）可以在depth-3中实现：将所有XOR放在一个层中，然后在两层AND，OR和NOT中进行“选择”（不像往常那样不将NOT加到深度中）。