为什么mod_m门很有趣？

瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）刚刚在ACC上发布了下界，该类问题具有恒定深度的电路，具有无限扇入和门AND，OR，NOT和MOD_m，适用于所有可能的m。

MOD_m门有什么特别之处？

• 它们允许模拟任何环Z_m上的算术。
• 在Ryan得出结果之前，将MOD_m门加到混合中得到了第一类，但已知的下界不起作用。

还有其他自然原因来研究MOD_m门吗？

$ACC^0$是自然复杂度类。

1）Barrington表明，对非可解决的类而言，计算捕获而对可解的类而言，捕获。$NC^1$$ACC^0$

2）最近，Hansen和Koucky 证明了一个不错的结果，即多尺寸的等宽平面分支程序正好是。如果没有平面度条件，我们当然会得到表征 Barrington结果。$ACC^0$$NC^1$

因此，和之间的差异一方面是基于群论的，另一方面是拓扑的。$ACC^0$$NC^1$

补充： Dana，可解组的一个简单示例是，即元素上的对称组。无需赘述，任何可解的组都有一个商的序列恰好是循环的序列。这种循环结构在构建电路以解决整个组中的单词问题时会反映为mod门。$S_4$

关于平面性，人们想相信平面性可能会在信息流中施加限制/瓶颈。这并不总是正确的：例如，已知平面3SAT的变体是NP完全的。但是，在较小的类中，这些限制更“可能”成立。

同样，Wigderson使用隔离引理显示了NL / poly = UL / poly。我们不知道如何在任意DAG上对隔离引理进行随机化以获得NL = UL，但我们知道如何针对平面DAG进行。

也许这并不是您问题的答案。但仅举一个为什么有时门（对于复合）比门更强大的：$\bmod m$$m$$\bmod p$

考虑一类仅由门，叶子处的输入和常数组成的恒定深度电路。这样一来，无论电路的大小如何，都可以很容易地表明，这些电路无法计算出“或”函数。（这是因为任何这样的电路都会在计算低阶多项式，而OR的为）。$\bmod p$$\mathbb{F}_p$$n$

但是，如果我们考虑仅由门组成的电路，其中具有至少两个不同的素因数，则OR函数有一个深度为电路（具有指数大小）。$\bmod m$$m$$2$

在Ryan结果之前，我想是我们没有任何合适下限的最小类。$AC^0[\bmod 6]$

仅说明您的两点：

如果我们从事理解计算的业务，那么模块化计数是我们理解的前沿之一。模块化计数是计算中最简单，最自然的现象之一，但我们对此了解甚少。我们不能排除仅具有Mod6门的多项式大小深度为3的电路可以计算NP中每个函数的可能性。但是，可以推测，这样的电路只能计算具有大支持量的函数，因此不能计算诸如AND之类的非常简单的函数。在上限方面，情况相似，我们没有不平凡的结果。

从纯数学角度来看，这些问题也非常有趣，因为它们与有关Z_m上的多项式和矩阵的非常自然的问题紧密相关。举一个例子，对于Z_6上nxn对角矩阵的秩，我们没有很好的下界。一个对角矩阵在对角线上有0，对角线上有非零。