Razborov证明单调函数匹配不在mP中。但是我们可以使用多项式大小为零的电路来计算匹配度吗？是否存在带有$O(n^\epsilon)$取反的P / poly电路来计算匹配度？否定数和匹配大小之间的权衡是什么？

马尔可夫证明，任何的功能$n$输入可以与只被计算$\lceil \log (n+1)\rceil$否定。Fisher描述了一种有效的建设性版本。另请参阅GLL博客的结果说明。

更确切地说：

定理：假设由电路计算ç与克栅极，那么它也由一个电路来计算c ^ *与2 克+ Ö （Ñ 2 日志2 Ñ ）门和⌈ 日志（ñ + 1 ）⌉否定。$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

其主要思想是为每个线路中增加在ç一中并行线w ^ '在C ^ *总是携带的补w ^。基础案例是输入线：费舍尔描述了如何构造一个反转电路我（X ）= ＆OverBar; X与ø （Ñ 2 日志2 Ñ ）门和仅 ⌈ 日志（Ñ + 1 ）⌉否定。对于电路C的AND门，我们可以增加$w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$与一个' = b ' ∨ ç “，并且同样地对于OR门。C中的 NOT门不花任何钱，我们只是在NOT门下游交换 w和 w '的角色。这样，逆变器子电路以外的整个电路是单调的。$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

AA马尔科夫。关于功能系统的反演复杂性。J. ACM，5（4）：331-334，1958年。

MJ Fischer。否定限制网络的复杂性-简要调查。于《 自动机理论与形式语言》，71–82，1975年

如何计算的反转位使用Ñ否定$2^n-1$$n$

Let the bits $x_0, \ldots, x_{2^n-1}$ be sorted in the decreasing order, i.e. $i<j$ implies $x_i \ge x_j$. This can be achieved by a monotone sorting network like the Ajtai–Komlós–Szemerédi sorting network.

$2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$ (for $2m+1$) bits to one $I^{n-1}$ gate (for $m$ bits) and one negation gate using $\land$ and $\lor$ gates. We use negation to compute $\lnot x_m$. For $i<m$ let $y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$. We use $I^{n-1}$ to invert $\vec{y}$. Now we can define $I^n$ as follows:

It is easy to verify this inverts $\vec{x}$ by considering the possible values of $x_n$ and using the fact that $\vec{x}$ is decreasing.

From Michael J. Fischer, The complexity of negation-limited networks - a brief survey, 1975.