线性程序约束满足期望是否足够？

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在针对在线二分匹配的RANKING的随机原始对偶分析中，证明RANKING算法具有竞争性，同时证明对偶可行于期望值（请参阅第5页的引理3）。我的问题是： $\left(1 - \frac{1}{e}\right)$

线性程序约束满足期望是否足够？

证明目标函数的期望值是一回事。但是，如果在期望中满足了可行性约束条件，则不能保证一定会满足给定的运行条件。而且，存在许多这样的约束。那么，在给定的运行中保证所有这些参数都得到满足的保证是什么？

linear-programming randomized-algorithms online-algorithms matching primal-dual

— 阿林丹·帕尔
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您可能会发现阅读克莱尔·马修（Claire Mathieu）关于此分析的简短博客文章很有帮助。关键句子是“这证明了对偶取平均值的可行性”。 （您真正使用的，可行的对偶解决方案是分析中对偶的平均值。）

— Neal Young

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请注意，对于您的问题，通常也回答为“是”，也就是说，如果期望中满足线性约束，则通过为每个变量分配其期望值而给出的解决方案是可行的（且成本等于预期成本）。期望线性的奇迹；）

— Sasho Nikolov 2012年

感谢usul，Neal和Sasho阐明了这一微妙之处。

— Arindam Pal

Answers:

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我认为困难在于该措词略有误导；正如在引言（1.2）中更清楚地指出的那样，“对偶变量的期望值构成了可行的对偶解。”

对于对偶变量每个固定设置，我们获得值原始解和值对偶解 $X$ $f(X)$ 。（在某些情况下，双重操作是不可行的，但这很好。） $\frac{e}{e-1}f(X)$

因此，该算法在所有运行过程中的期望值是。但是是对偶可行解，因此存在值对偶解 $E[f(X)]$ $E[X]$ 。关键技巧是在对偶变量是线性的：实际上，这里对偶变量是和，并且顶点与每次匹配都增加了。因此，，得出结论。 $\frac{e}{e-1}f(E[X])$ $f(X)$ $X$ $\alpha_i$ $\beta_j$ $i$ $j$ $\left(\frac{e-1}{e}\right)(\alpha_i + \beta_j)$ $E[f(X)] = f(E[X])$

（作为一个旁注，我觉得，因为这是他们论文的重点（根据摘要），所以如果他们解释了这一点，那就更好了！我，我想找出更普遍的时间。）

— 高利贷
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非常好的答案。

— Suresh Venkat 2012年

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