扩展至稳定婚姻问题？

这听起来似乎比TCS问题更像是一门社会科学问题，但事实并非如此。阅读描述稳定婚姻问题的“ 随机算法 ”时，可以阅读以下内容（p54）

“可以证明，对于每一种选择的偏好列表，至少都有一个稳定的婚姻。（很奇怪的是，在同性恋者一夫一妻制的社会中，居民人数是偶发的）。”

稳定婚姻问题是否有任何非常简单的扩展，允许某种类型的稳定状态，包括同性恋一夫一妻制社会，或者其中某些人口子群遵循的规则不同于大套规则的社会？

肯定的是，有执行这种匹配的算法吗？

关于三种类型的人有一个开放的猜想。假设您有男人和女人，而男人有女人的偏好列表，女人有狗的偏好列表，狗有男人的偏好列表。总是有稳定的婚姻吗？

（对于3型社会的其他偏好结构，答案是负面的）。

另一个评论是，稳定的婚姻代表着一个非空的核心，而Scarf有一个众所周知的条件，即暗示着非空核心的存在。众所周知，围巾条件可以满足最初的稳定婚姻问题和房屋分配问题。（但因男人/女人/狗的问题而失败）。

一些参考：

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• 一篇展示Scarf关键引理的各种应用并引述很多其他文章的论文：（特别是描述了Aharoni和Holzman的超图的Gale-Shapley定理的分数形式）：R. Aharoni和T. Fleiner，关于引理围巾，J。Combin。理论系列 B 87（2003），72--80。
• Eriksson等人的论文（Math Soc Sci 2006）提出了一种解决方案，当每种性别中最多有四个时，就解决了男女狗的问题。

您所问的不再是“稳定婚姻问题”。相反，它称为“稳定室友问题”。根据维基百科：

在数学中，尤其是在博弈论和组合学领域，稳定室友问题（SRP）是找到稳定匹配的问题-一种匹配，其中不存在成对的元素，每个元素来自不同的匹配集中，每个成员中的一对比对方更喜欢对方。这不同于稳定婚姻问题，因为稳定的室友问题不需要将一组分解为男性和女性子集。任何人都可以喜欢同一集合中的任何一个。

通常表示为：

在稳定室友问题（SRP）的给定实例中，每2n名参与者都按照严格的优先顺序对其他参与者进行排名。匹配是一组n个不相交（无序）的参与者对。如果没有两个参与者x和y，每个参与者都比对方更喜欢他的伙伴，则在SRP实例中匹配的M是稳定的。这样的配对被称为阻塞了M，或者相对于M.

维基百科讨论了您问题的答案。它说不能总是找到稳定的情况，但是由于Irving（1985），存在一种有效的算法，如果有，它将找到这种匹配。

编辑：

SRP可以想到几种自然的放松方式：可以要求：“不存在两个参与者x和y，每个参与者都比对方更喜欢他的M，”

1. 至少有一部分人对室友感到满意。在此，可满足性可以不同地解释。例如：
   • 如果y是x的首选，则认为对（x，y）是满足的，反之亦然。
   • 如果x或y中的一个是另一个的首选，则认为满足（x，y）对。
   • 如果存在一对（z，w），使得x（x，y）比z更喜欢y，并且z（x）比w更喜欢x，则认为对（x，y）不满意。
   • ...
2. 最多某些人对他们的室友不满意。（根据对可满足性的解释，此要求可能与上述要求不同。）

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