完美匹配的棋盘吗？

考虑这样一个问题，即找到可以放置在棋盘上的骑士的最大数量，而他们中的两个不会互相攻击。答案是32：找到一个完美的匹配并不是太难（骑士移动引起的图形是二分的，并且4×4板有一个完美的匹配），这显然是最小的边缘覆盖率。同样不难证明，只要m，n \ geq 3，答案是对于棋盘：足以显示3 \ leq的匹配项m，n \ leq 6并做一些归纳步法。$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m \times n$$m,n \geq 3$$3 \leq m,n \leq 6$

另一方面，如果棋盘是环形的并且$m, n$是偶数，则证明甚至不需要显示与小盘的匹配：映射$(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$具有只有偶数长度的周期，因此必须有一个完美的匹配。

矩形棋盘是否有等效项，也就是说，有没有更简单的方法来证明对于足够大的$m, n$，总是可以完美匹配棋盘？对于大板，矩形板和环形板在缺失边缘的比例变为零的意义上几乎是等效的，但是我不知道有任何理论结果可以保证这种情况下的完美匹配。

如果骑士没有向任一方向跳$(1, 2)$，而是向任一方向跳$(2, 3)$方格怎么办？或就此而言，$(p, q)$平方，$p+q$奇数，$p, q$互质数？如果是，证明该答案是一个简单的方法$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$对于足够大的$m, n$（比方说，$m, n \geq C(p, q)$），做什么$C(p, q)$是什么样子？

对于所有大的，例如和，答案不是。为什么？请注意，由于存在余数，所以该图是三个二部图的（顶点）不相交的并集，我们可以从每个图中选择较大的一半。例如，如果，那么我们可以（至少）放置5002个骑士。（这是因为具有六个成对的类，这些类在三对中，这对基数之间的差为。）$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$$\mod 3$$m=n=100$$x+y \mod 6$$1,1,2$

我不知道如果加上和是相对素数的情况会发生什么。（请注意，除2除数外，这等效于和是相对质数，实际上这是我们需要的条件，也表明是奇数是必要的。）$p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$