二元搜索的二元搜索概括？

假设我在S上有一个位姿“ S”和一个单调谓词“ P”。我想找到S的一个或所有满足P的最大元素。

编辑：我有兴趣减少P的评估数量。

存在针对此问题的哪些算法，它们在S上需要哪些属性和其他操作？

重要的特殊情况如何，例如：

• S是线性顺序-只要您执行“查找中间”操作，常规二进制搜索就可以工作
• S是一个晶格
• S是子集格
• S是一个多集格
• ...

后两种情况似乎特别重要，例如对于实验设计-您具有一组布尔值或实际参数，并且您希望找到它们的最小组合以重现特定模式（例如失败的测试）。

我还没有考虑透彻，所以如果我错了，请纠正我。

假设是摆管的宽度。$w$

1. 对于仅包含不连续链的并集的位姿，只需将二进制搜索的查询复杂度的标准下限应用于每个链，就至少需要个的评估。$w$$w\log n$$P$

2. 由于您免费进行比较，因此可以免费将坐姿链分解为条链。对每个链进行二进制搜索，以找出满足的第一个元素。然后遍历已识别的元素并删除所有主要元素。的评估数为。标识所有最大元素，因为每条链最多可以有一个最大元素。$w$$P$$P$$O(w\log n)$

添加：实际上，我看到一种简单的递归算法可以对子集的晶格做得更好（）（编辑：domotor在他的回答中描述了一般策略）。在这里，我假设是向下单调的（即子集形成一个较低的集合），这就是您的意思。因此，这是查找较低集合的成员的算法：$O(n)$$2^{[n]}$$P$$\{X: P(X) = 1\}$

a）测试。如果为0，则停止。$P(\emptyset)$

b）测试。 $P(\{n\})$

bi）如果为0，则在上递归（确定，因为包含集合不能在较低的集合中）。$2^{[n-1]}$$n$

b.ii）如果为1，则在子晶格存在较低集合的成员。该子晶格与同构，因此我们可以再次递归。更准确地说，我们可以针对运行算法，但是当算法要求评估，我们评估，其中。2 [ Ñ - 1 ] 2 [ Ñ - 1 ] P （Ý ）P （X ）X = ý ∪ { Ñ $\{X: n \in X\}$$2^{[n-1]}$$2^{[n-1]}$$P(Y)$$P(X)$$X = Y \cup \{n\}$

因此，在每一步中，我们递归于一个子格，该子格的大小是原始格的一半。总的来说，我们最多需要评估次（实际上，您可以实施算法来评估谓词次，正如Yoshio指出的那样，因为您只需要检查一次）。2 Ñ Ñ + 1 $P$$2n$$n+1$$\emptyset$

如果是一棵树，则存在构造最佳决策树的多项式时间算法。$P$

二元搜索的一般化：搜索树木和森林类偏序

Daskalakis等人最近的一篇论文表明，对于大小为且宽度为的波塞，可以在时间找到最少的元素。有趣的是，他们在摘要中说w O （w n $n$$w$$O(wn)$

寻找高效的静态和动态数据结构，对于部分订单起着相同的作用，而堆和二进制搜索树对总订单起着相同的作用，这也将很有趣。

如果S是输入的一部分，那么找到最大元素的问题已经变得``NP困难''（如果我们认为晶格使其元素为n位长字符串），例如可以说如果某些固定CNF的CNF（x）不是true，而CNF（y）是true。$x<y$

另外，可能有很多满足P的最大元素，因此即使输出所有元素也可能需要很长时间，因此我认为只希望找到一个最大元素。

通常，如果您可以递归选择元素，以便在留下上述元素之后，或者删除上述元素，然后在每个此类集合中删除固定比例的元素，则二进制搜索有效。

例如。如果S是固定尺寸的网格，则有一个快速算法：总是将一个坐标减半，而使另一个坐标减至最小，因此例如在第一步中要问（n / 2,0，...，0）。

一个重要的相关定理是Tarski不动点定理，在该定理中，您不是从P而是从晶格到其自身的单调映射。定理说不动点形成格子。我们用Jaroslaw Byrka和Paul Duetting证明，在这种情况下，如果晶格是d维网格，则可以在大约时间内找到一个固定点，其中该算法是二进制搜索的简单概括。$n^d$

对于在子集的晶格上找到所有最大元素的问题，这等于布尔变量的正布尔函数的精确推论。如果您只关心的评估次数（而不是计算复杂度），则可以在“通过基于逻辑的方法进行数据挖掘和知识发现”第10章第10.2.4节或本节的最后一段中找到调查。答案是指向本文的 6.1 （请注意，本文的其余部分涉及计算复杂性，而不仅仅是评估的复杂性）。2 [ n ] n P $P$$2^{[n]}$$n$$P$$P$