正拓扑排序，取2

这是大卫·爱普斯坦最近提出的问题的后续行动，也是出于同样的问题。

假设我在其顶点上有实数权重。最初，所有顶点均未标记。我可以通过以下方式更改标记顶点的集合：（1）标记没有未标记的前任顶点的顶点，或者（2）标记没有标记的后继顶点的顶点。（因此，标记顶点的集合始终是部分顺序的前缀。）我想找到一系列标记/取消标记操作，并以所有标记的顶点结尾，这样标记顶点的总权重始终为非负数。

• 找到这样一系列操作有多难？ 与David的问题不同，甚至不清楚该问题是否在NP中。原则上（尽管我没有任何示例），每个合法举动序列都可以具有指数长度。我能证明的最好的问题是PSPACE。

• 取消标记操作实际上是不必要的吗？ 如果存在有效的移动序列，是否必须有一个永不取消标记顶点的有效移动序列？为肯定会使这个问题等同于大卫。另一方面，如果有时需要取消标记，则应使用一个较小的（恒定大小）示例来证明这一点。

在常规的666研究研讨会上，我们提出了以下证明。

我们从一些定义开始。设P为我们的姿势。为简单起见，假设所有权重之和都不为零。用w（x）表示顶点的权重，用w（X）表示集合权重的总和。我们说如果集合X包含在Y中，则集合X是Y向上的（封闭的），并且比X的元素大的Y的每个元素也在X中。包含在Y中，并且每个小于X元素的Y元素也包含在X中。在这种语言中，标记元素的集合必须始终为P-down。

我们通过矛盾证明。采取标记每个元素的最短标记/取消标记序列。我们称此类序列为满。在任何给定点，请考虑之前已标记但现在未标记的元素集。用U表示此集合。

要求：w（U）> 0。

证明：我们证明任何U-up集的权重X为正。证明是通过对X的大小进行归纳。如果存在X向下集合Y，则w（Y）> 0，则由于归纳，我们知道w（X \ Y）> 0（因为X-up），我们也有w（X）> 0。如果对于每个X向下集合Y，我们的w（Y）<0，那么到此为止，通过从序列中删除X元素的所有标记和未标记，我们可以获得较短的完整序列。我们已经完成了索赔证明。

现在假设我们有一个完整的序列，其中对于当前未标记元素的集合U，在任意点w（U）> 0。通过对每个元素进行第一个标记，并且永不取消任何标记，来采用从中获得的序列。显然，这也将是一个完整的序列，满足标记元素的集合始终为P-down的情况。此外，权重之和将始终至少与原始序列中的权重之和一样大，因为在任何给定时间，差为w（U）。我们完了。

使用这种方法，甚至可以证明，如果只标记一个P的子集，而不是标记整个P，那么可以用一系列标记再加上一系列非标记来完成。证明是相同的，只是在某些元素U的末尾没有标记，但是由于任何U-up集的权重为正，这些元素可以移到序列的末尾。