标记DAG的Dilworth定理的推广

一个反链在一个DAG 是一个子集是成对可达，即，不存在顶点的，使得是从可到达的在。根据偏序理论中的迪尔沃斯定理，可以知道，如果DAG没有大小为反链，则它可以分解为最多不相交的链，即有向路径。 $(V, E)$ $A \subseteq V$ $v \neq v' \in A$ $v$ $v'$ $E$ $k \in \mathbb{N}$ $k-1$

现在，我对带标签的DAG感兴趣，即每个顶点在一些固定的有限标签中带有标签 DAG 。给定一个反链，我可以定义它的标记的大小作为标签的出现最小数量在，即。在这种情况下，是否有迪尔沃思定理的类似物？换句话说，如果我假设DAG没有标记大小为反链 $v$ $\lambda(v)$ $\Sigma$ $A \subseteq V$ $\Sigma$ $A$ $\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$ ，我可以假设其结构如何？我可以用某种特殊的方式分解它吗？我已经对的情况感到困惑 $\Sigma = \{a, b\}$ ，但是对一般的有限标签集的情况也很感兴趣。

为了使它可视化为 $\Sigma = \{a, b\}$ ，说 $G$ 没有标记大小为反链，这 $k$ 意味着不存在至少包含标记为个顶点和标记为 $k$ 个顶点的反链；可以有任意大的反链，但它们必须只包含元素或仅包含元素，最多只能有例外。似乎，禁止使用大的反链应该强制DAG本质上“交替”在标记的顶点的大宽度和宽度大的部分之间 $a$ $k$ $b$ $a$ $b$ $k-1$ $a$ $b$ 标记的顶点，但我无法将这种直觉形式化。（当然，除了DAG的形状外，适当的结构表征还必须讨论顶点的标签，因为对于 $k \geq 1$ 以及 $\{a, b\}$ ，已经满足了完全任意的DAG的条件，顶点带有相同的标签。）

— 3纳米
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@Saeed，不，这不起作用。您的困惑来自这样一个事实，即如果一个字母未出现在反链中，则其标记大小为。以一个完整的二部图G =（A，B，E）为例，每个边都从A定向到B。用标记A每个顶点，用标记B的每个顶点。那么每个反链最多具有一种颜色，因此标记的大小为，但是您无法用不相交的链覆盖它。同样的，一个DAG您使用标签而已。

0

$0$

a

$a$

b

$b$

0

$0$

m (k - 1)

$m(k-1)$

a

$a$

— Holf

@holf，是的，我想我们应该对标记在反链中出现的位置进行计数，我没有发现min超过了sigma的所有元素。我认为这有点奇怪。

— 2016年

@Saeed：重点是禁止使用带有多种符号的反链。直觉是我们正在研究DAG上的问题的复杂性，当您拥有如此大的反链（足够多的不可比符号的出现）时，这一问题就变得微不足道了。为了显示整体的可处理性，我们只需要处理没有发生这种模式的DAG的情况，因此我们想弄清楚如何将此类DAG分解为它们设计可处理的算法。（例如，在未标记的情况下，链分解会导致动态算法。）

— a3nm

使用Charles Paperman，我们已经能够为带有字母 DAG获得这样的结果。本质上，我们可以证明一个给定的DAG具有的大反链标记的元素，大反链标记的元素，但含有许多没有大的反链 -标记和标记的元件，则存在的分解作为分区，其中： $\{a, b\}$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$ $G$ $L_1, \ldots, L_n$

分区是我们所说的“分层”，即：
- 每个是一个凸集，即，如果和则 $L_i$ $x, y \in L_i$ $x \leq z \leq y$ $z \in L_i$
- 对于所有，没有和使得 $i < j$ $x \in L_i$ $y \in L_j$ $y \leq x$
对于任何反链的，有一些使得是“几乎包含”在，即，小于常数 $A$ $G$ $i$ $A$ $L_i$ $|A \setminus L_i|$
对于每个，下列条件之一为真：
- $L_i$ 含有大量反链的标记的元素和不包含大反链的标记的元件 $a$ $b$
- $L_i$ 含有大量反链的标记的元素，但不含有大量反链的标记的元素 $b$ $a$

此外，可以在PTIME中计算这样的分区。

我已经在网上发布了当前的证明。这是很粗糙的，基本上是未经校对的，因为我们暂时还没有结果，但是我仍然认为，随着我们目前的进展，为这个CS理论问题添加一个答案是比较整齐的。如果您对结果感兴趣，但对证明毫无意义，请不要犹豫与我联系。

— 3纳米
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