相似矩阵

给定两个 ×矩阵和，确定是否存在置换矩阵使得等于（图同构）的问题。但是，如果我们放松使其只是一个可逆矩阵，那么复杂度是多少？除了作为一个排列之外，对可逆矩阵是否还有其他限制，将这个问题与其他困难问题联系起来？A B P B = P − 1 A P P $n \times n$$A$$B$$P$$B = P^{-1}AP$GI$P$$P$GI

矩阵阿和乙其元素是在一个领域˚F是相似的（在˚F）当且仅当它们具有相同的弗罗贝纽斯正常形式。根据快速搜索，似乎可以用O（n ^3）计算n × n矩阵的Frobenius范式。）场运算 [Sto98]，并且可以将其改进为与矩阵乘法的复杂度相当的东西[ Sto01]。

[Sto98] Arne Storjohann。Frobenius范式的O（n ³）算法。在1998年国际符号和代数计算研讨会（ISSAC）的会议记录中，第101–105页，1998年8月。DOI：10.1145 / 281508.281570。

[Sto01] Arne Storjohann。Frobenius形式的确定性计算。在2001年10月第42届IEEE计算机科学基础专题研讨会（FOCS），第368–377页。DOI：10.1109 / SFCS.2001.959911。

实际上，对其他限制使该问题与GI有关。例如，如果一个要求P是克罗内克（张量）产品P 1 ⊗ P 2 ⊗ P $P$$P$$P_1 \otimes P_2 \otimes P_3$，然后将所得的问题是很难，因为3价张量，其是大致相同的复杂性，因为线性码等价等价，反过来又被认为是GI难的（但不知道它等同于GI）。

关于您的问题的另一种观点可能是对总体情况的一些了解，如下。对于任何一组动作上的一组X Ñ（每个Ñ），一个可以询问决定是否两个给定的点的复杂性X ，ÿ ∈ X Ñ处于相同ģ Ñ -orbit; 将该动作称为（系列）的轨道问题。然后，您的问题本质上是关于轨道问题的复杂性，可以将其表达如下：在向量空间V n上有群G n的线性作用下$G_n$$X_n$$n$$x,y \in X_n$$G_n$$G_n$$V_n$，考虑的轨道问题引起的动作上（通过缀合）X ñ = V Ñ ⊗ （V Ñ ）*。$G_n$$X_n = V_n \otimes (V_n)^*$

对于图同构，我们通过置换坐标使和V n = R n具有自然作用。对于矩阵共轭，我们在对V n = F n的自然作用中具有G n = GL n（F）。对于上述例子，我们有ģ Ñ = GL 一个 × GL b × GL Ç在其自然动作V Ñ = ˚F 一个 ⊗ $G_n = S_n$$V_n = \mathbb{R}^n$$G_n = \text{GL}_n(\mathbb{F})$$V_n = \mathbb{F}^n$$G_n = \text{GL}_a \times \text{GL}_b \times \text{GL}_c$$V_n = \mathbb{F}^{a} \otimes \mathbb{F}^b \otimes \mathbb{F}^c$