判断矩阵是否完全规则的复杂性

如果矩阵的所有平方子矩阵都具有完整秩，则称该矩阵为完全规则。此类矩阵用于构造超浓缩器。确定给定矩阵是否在理性上完全规则的复杂性是什么？在有限的领域？

更一般而言，如果其大小最大为所有平方子矩阵都具有完整秩，则称该矩阵为全正则。给定一个矩阵和一个参数，确定矩阵是否完全为正则的复杂度是多少？ $k$ $k$ $k$ $k$

— 马库斯·布拉泽（MarkusBläser）
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一个基本的问题：当您说正则矩阵是什么意思？谢谢！

— 袁子春

您是说每个子矩阵都不是奇异的吗？我记得我现在找不到类似的问题

— Sasho Nikolov

实际上，常规有三种不同的含义：en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat 2012年

嗯，找到了相关问题：cstheory.stackexchange.com/questions/10962/…。您的问题与我在此处所做的评论更为吻合：这是测试受限等轴测方的（开放式AFAIK）问题的更简单变体。

— Sasho Nikolov '04年

有限域上，测试如果

矩阵

-regular相当于检查一个是否

码生成矩阵具有最小距离

（即，是否它是MDS）。即使找到最小代码距离的常数因数近似值也很难。检查本文ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf及其内部参考。

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Dimitris

Answers:

Alexander Chistov，HervéFournier，Leonid Gurvits和Pascal Koiran 的论文Vandermonde矩阵，NP完全性和横向子空间 [ps]可能与您的问题有关（尽管它没有回答）。

他们证明以下问题的-completeness：给定一个矩阵超过（），决定是否存在一个子矩阵，其行列式消失。 $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— 布鲁诺
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谢谢，布鲁诺！我们是否可以通过随机减少（超出合理性）来减少您对我问题的回答的问题？只需添加

随机行。如果新矩阵不是完全规则的，则它在前

行中以高概率包含奇数

矩阵。啊不子矩阵可以更小。但是也许有人可以做到这一点……

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— MarkusBläser2012年

是的，您的问题从本质上讲相当于Alexander Chistov，HervéFournier，Leonid Gurvits和Pascal Koiran 论文中的（一般职位）。

考虑一个矩阵，。不失一般性，假设和第一列是独立的：，其中是一个非奇数矩阵。现在，当且仅当，包含一个奇数子矩阵 $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$ 不是完全规则的。

— 狮子座古尔维特斯
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本着同样的精神，还有另一个NP-Complete问题：一个方阵决定其所有主要子矩阵（即同一集合中的行和列）是否都是非奇异的。另一个奇怪的事实是：所有平方子矩阵的行列式的平方和很容易（只是Det（I + AA ^ {T}）），但是绝对值的总和是＃P-Complete。

— 狮子座古尔维特斯
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