Questions tagged «matrices»

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计算矩形矩阵秩的最快算法是什么？
给定一个矩阵（假设米≥ Ñ），什么是最快的算法来计算其列秩和依据？m×nm×nm \times nm≥nm≥nm \ge n 我知道它可以通过线性拟阵相交，这意味着一个来解决时间确定性算法和ø （米Ñ ω - 1）时间随机化算法。是否有一个ø （米Ñ ω - 1）时间确定性算法更直接减少的问题（或高斯消元），以矩阵乘法？O(mn1.62)O(mn1.62)O(mn^{1.62})O(mnω−1)O(mnω−1)O(mn^{\omega-1})O(mnω−1)O(mnω−1个）O(mn^{\omega-1})
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近似线性时间可解线性系统的情况
设一个正方形n×nn×nn\times n实矩阵AA{\bf A}和两个长度为n的向量xx{\bf x}和，使得A x = b。通过标准高斯消除法 求解x时，总的复杂度几乎为O （n 3）。然而，存在其中解决（或箱子ε -approximately求解）为X成本ø （Ñ 登录ρ Ñ ），诸如系统，其中甲bb{\bf b}nnnAx=b.Ax=b.{\bf A}{\bf x}={\bf b}.xx{\bf x}O(n3)O(n3)O(n^3)ϵϵ\epsilonxx{\bf x}O(nlogρn)O(nlogρ⁡n)O(n\log^\rho n)AA{\bf A} 是对称且对角占优势的矩阵（例如，拉普拉斯算子）[1]。 其他哪些线性系统系列（即矩阵）允许线性（或非平凡的poly（n））时间解？如果我们考虑有限域而不是实矩阵，那么那里是否存在允许近似线性时间解的矩阵族？ [1] http://www.cs.yale.edu/homes/spielman/Research/linsolve.html
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成员资格的复杂性-有限的阿贝尔群的测试
考虑以下阿贝尔亚组成员资格测试问题。 输入： 具有任意大的有限阿贝尔群并具有任意大的。G=Zd1×Zd1…×ZdmG=Zd1×Zd1…×ZdmG=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}didid_i 子组的生成集。{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbraceH⊂GH⊂GH\subset G 的元素。b∈Gb∈Gb\in G 输出：如果 'yes'，其他地方为'no'。b∈Hb∈Hb\in H 问题：可以在传统计算机中有效解决此问题吗？如果在传统图灵机的通常意义上使用时间和内存资源，我认为该算法有效。注意，对于任何子组，我们都可以假设。此问题的输入大小为。O(polylog|G|)O(polylog|G|)O(\text{polylog}|G|)n=O(log|G|)n=O(log⁡|G|)n= O(\log|G|)HHH⌈log|G|⌉⌈log⁡|G|⌉\lceil \log|G|\rceil 有点动力。从直觉上看，似乎可以使用算法来解决同余线性系统或线性双色子方程组（请参阅下文）。但是，似乎在使用整数进行计算时会使用不同的计算效率概念，例如：强多项式时间与弱多项式时间，代数与位复杂度。我不是这些定义的专家，我找不到明显解决此问题的参考。 更新：问题的答案是“是”。 在一个较晚的答案中，我提出了一种基于史密斯范式的方法，该方法对于具有规定格式的任何组都是有效的。 Blondin的答案表明，在所有都为且的形式的特殊情况下是“微小整数”，那么问题就属于。微小的整数随输入大小呈指数减小。ð 我 = Ñ Ë 我我 Ñ 我，ë 我NC 3 ⊂ P ø （日志的日志|甲|）didid_idi=Neiidi=Nieid_i= N_i^{e_i}Ni,eiNi,eiN_i, e_iNC3⊂PNC3⊂P\text{NC}^3\subset \text{P}O(loglog|A|)O(log⁡log⁡|A|)O(\log\log|A|) 在我的回答中，我使用“正交子组”来解决此问题，但是我认为这不是必需的。将来，我将基于我正在阅读的连续梯形表格方法，尝试提供更直接的答案。 一些可能的方法 该问题与求解全等线性系统和/或线性双色子方程密切相关。为了简单起见，我简要总结了这些连接。 以为矩阵，其生成集的元素 。以下方程组{ h 1，… ，h n }AAA{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1, \ldots, h_n \rbrace AxT=⎛⎝⎜⎜⎜⎜h1(1)h1(2)⋮h1(m)h2(1)h2(2)⋮h2(m)……⋯…hn(1)hn(2)⋮hn(m)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜x(1)x(2)⋮x(n)⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜b(1)b(2)⋮b(m)⎞⎠⎟⎟⎟⎟modd1modd2⋮moddmAxT=(h1(1)h2(1)…hn(1)h1(2)h2(2)…hn(2)⋮⋮⋯⋮h1(m)h2(m)…hn(m))(x(1)x(2)⋮x(n))=(b(1)b(2)⋮b(m))modd1modd2⋮moddm Ax^{T}= …
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在一般位置构造向量
让真正的 （ķ ≤ ñ）矩阵一个具有这样的特性的任何集合ķ列满秩。k × nk×nk\times nķ ≤ Ñk≤nk\le n一种A{\bf A}ķkk 问：是否有一种有效的方法来确定性地找到向量，使得增广矩阵A ' = [ A一种a{\bf a}保留与 A相同的属性：任何 k列均是完整列。A′=[Aa]A′=[Aa]{\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]AA{\bf A}kkk 相关说明：具有此属性的矩阵是 Reed-Solomon代码的生成器：添加保留其Vandermonde结构的列将保留rank属性。(n,k)(n,k)(n,k)
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使用最少加法的矩阵矢量乘法算法
考虑以下问题： 给定一个矩阵 ，我们要优化计算乘法算法加法的次数v ↦ 中号v。MMMv↦Mvv↦中号vv \mapsto Mv 我发现此问题很有趣，因为它与矩阵乘法的复杂性有关（此问题是矩阵乘法的受限版本）。 对这个问题有什么了解？ 是否有任何有趣的结果将此问题与矩阵乘法问题的复杂性联系起来？ 该问题的答案似乎涉及找到仅具有加法门的电路。如果我们允许减法门怎么办？ 我正在寻找这个问题和其他问题之间的减少。 动机 0-1矩阵向量乘法的自动优化 细粒度复杂性理论中这些假设之间有什么关系？
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矩形的生成树数的精确公式
该博客讨论使用计算机生成“扭曲小迷宫”并对其进行枚举。可以使用Wilson算法获得UST进行枚举，但我不记得其中有多少的公式。 http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike 原则上，矩阵树定理指出图的生成树数等于图的拉普拉斯矩阵的行列式。令为图，为邻接矩阵，为度矩阵，然后的特征值，然后：G = （E，V）G=(E,V)G= (E,V)一个AAdDDΔ = D − AΔ=D−A\Delta = D - Aλλ\lambda k （G ）= 1ñ∏k = 1n − 1λķk(G)=1n∏k=1n−1λk k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k 在矩形的情况下，和特征值均应采用特别简单的形式，而我找不到。 m × nm×nm \times n一个AA 矩形的生成树＃的确切公式（和渐近性）是什么？m × nm×nm \times n 这是威尔逊运算法则的一个很好的例子。
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这样的矩阵可以存在吗？
在我的工作中，我想到了以下问题： 我正在尝试为任何一个找到 -matrix，具有以下属性：（0 ，1 ）中号Ñ > 3n×nn×nn \times n (0,1)(0,1)(0,1)MMMn>3n>3n > 3 的行列式为偶数。MMM 对于任何具有非空子集，当且仅当，子矩阵具有奇数行列式。 | 我| = | J | M I J I = JI,J⊆{1,2,3}I,J⊆{1,2,3}I,J\subseteq\{1,2,3\}|I|=|J||I|=|J||I| = |J|MIJMJIM^I_JI=JI=JI=J 这里表示的子矩阵创建通过与索引移除所述行并与索引列。 M I JMIJMJIM^I_JMMMIIIJJJ 到目前为止，我试图通过随机采样找到这样一个矩阵，但是我只能找到一个具有除第一个属性之外的所有属性的矩阵，即，该矩阵始终具有奇数行列式。我尝试了各种尺寸和不同的输入/输出集，但均未成功。所以这让我想： 需求之间是否存在依赖关系，从而阻止了它们同时满足？ 要么 这样的矩阵是否可能存在，有人可以给我一个例子吗？ 谢谢，Etsch
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我们可以从排序矩阵中获得排序列表吗
我糊涂了。我想证明以乘矩阵排序（即行和列以升序）的问题是。我假设它可以比更快地进行，并尝试违反 下限，以进行对m个元素进行排序所需的比较。我有两个矛盾的答案：nnnnnnΩ(n2logn)Ω(n2log⁡n)\Omega(n^2\log n)n2lognn2log⁡nn^2\log nlog(m!)log⁡(m!)\log(m!) 我们可以从的排序矩阵中获得元素的排序列表/math/298191/lower-bound-for-matrix-sorting/298199?iemail = 1＃298199n2n2n^2O(n2)O(n2)O(n^2) 您无法从矩阵中获得排序列表的速度快于 /programming/4279524/how-to-sort-amxn-matrix-which-has-所有它的行排序和n列排序Ω(n2log(n))Ω(n2log⁡(n))Ω(n^2\log(n)) 哪一个是对的？
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一次编程的线性编程解决方案，带有有序变量
我遇到了一系列线性编程问题：最大化 c′xc′xc' x 服从 Ax≤bAx≤bA x\le b， x≥0x≥0x\ge0。的要素AAA， bbb和 ccc 是非负整数 ccc严格肯定。（xxx 也应该是必不可少的，但我稍后会担心。） 在我的应用程序中经常会遇到系数 AAA 和 ccc 简化的单程算法为每种选择提供了最佳解决方案 bbb：单遍算法确定元素 x1,…,xnx1,…,xnx_1,\dots,x_n 依次选择每个 xjxjx_j 尽可能与已确定的值一致 x1,…,xj−1x1,…,xj−1x_1,\dots,x_{j-1}。在单纯形语言中，输入变量的顺序只是x1x1x_1 至 xnxnx_n，它在之后终止 nnn脚步。与完整的单纯形相比，这节省了大量时间。 当以下列的列 AAA 和的元素 ccc从“便宜”到“昂贵”排序。“便宜”变量是AAA 通常具有较小的值，为此， ccc 很大：对于 xxx 您会获得很多输出，并且对约束的需求不是很高 bbb。因此该算法只是说“先做简单的事情”。 我的问题是： AAA 和 ccc 可以向我们保证，这种简化算法适用于所有 bbb？我最初的猜想是AAA 应该在每一行中增加，但这是不正确的。 这是一些例子 c=(1,1,1)c=(1,1,1)c=(1,1,1)： A1=⎛⎝⎜113122130⎞⎠⎟A1=(111123320)A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 …
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