这样的矩阵可以存在吗？

在我的工作中，我想到了以下问题：

我正在尝试为任何一个找到 -matrix，具有以下属性： $n \times n$ $(0,1)$ $M$ $n > 3$

的行列式为偶数。 $M$
对于任何具有非空子集，当且仅当，子矩阵具有奇数行列式。 $I,J\subseteq\{1,2,3\}$ $|I| = |J|$ $M^I_J$ $I=J$

这里表示的子矩阵创建通过与索引移除所述行并与索引列。 $M^I_J$ $M$ $I$ $J$

到目前为止，我试图通过随机采样找到这样一个矩阵，但是我只能找到一个具有除第一个属性之外的所有属性的矩阵，即，该矩阵始终具有奇数行列式。我尝试了各种尺寸和不同的输入/输出集，但均未成功。所以这让我想：

需求之间是否存在依赖关系，从而阻止了它们同时满足？

要么

这样的矩阵是否可能存在，有人可以给我一个例子吗？

谢谢，Etsch

— 埃奇
source

您是指随机子集还是任何子集？

— Suresh Venkat

似乎和相互冲突，因为没有什么能阻止在一个随机子集是在另一个随机子集。还是只希望对单个子集，？

det (M_{o_{1}}^{i_{1}}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_1}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{o_{2}}^{i_{1}}) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_2}) \equiv 0 \pmod{2}$

o_{1}

$o_1$

o_{2}

$o_2$

{o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\{o_1,o_2,o_3\}$

{i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\{i_1,i_2,i_3\}$

— Peter Shor

是的，两个子集和是固定的。例如，对于一个可以设置，，和，，，然后，问题是：是否有一个（7×7）矩阵，使得，，，依此类推，取决于所定义的20个属性。

I = {i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\mathcal{I} = \{i_1,i_2,i_3\}$

O = {o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\mathcal{O} = \{o_1,o_2,o_3\}$

n = 7

$n=7$

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 5

$i_3 = 5$

o_{1} = 2

$o_1 = 2$

o_{2} = 3

$o_2 = 3$

o_{3} = 4

$o_3 = 4$

M

$M$

det (M) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M) \equiv 0\pmod{2}$

det (M_{2, 3, 4}^{1, 2, 5}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2,5}_{2,3,4}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{2, 3}^{1, 2}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2}_{2,3}) \equiv 1\pmod{2}$

— Etsch

你不能只是修复，，，，，，以简化的问题，并使其更容易阅读？

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 3

$i_3 = 3$

o_{1} = 1

$o_1 = 1$

o_{2} = 2

$o_2 = 2$

o_{3} = 3

$o_3 = 3$

— Jukka Suomela 2011年

为清楚起见进行了编辑。

— Jeffε

不存在这样的矩阵。

所述Desnanot-雅可比恒等式表示，对于，所以使用这样，我们得到但您的要求迫使左侧为0（模2），右侧为1（模2），表明它们不兼容。 $i \neq j$

det M_{i j}^{i j} det M = det M_{i}^{i} det M_{j}^{j} - det M_{i}^{j} det M_{j}^{i}

$\det M_{ij}^{ij} \det M = \det M_i^i \det M_j^j -\det M_i^j \det M_j^i$

det M_{12}^{12} det M = det M_{1}^{1} det M_{2}^{2} - det M_{1}^{2} det M_{2}^{1}

$\det M_{12}^{12} \det M = \det M_{1}^{1} \det M_{2}^{2} - \det M_{1}^{2} \det M_{2}^{1}$

— 彼得·索尔
source

真好！但是，现在我很困惑，因为询问者说仅是问题中的第二个项目符号就可以满足，这确实与您引用的身份相矛盾。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi：第二个子弹如何与身份冲突？的身份矩阵满足第二点，并且很容易检查满足Desnanot-Jacobi身份。（除非你正在做，这违反了我刚才添加到我的答案身份的条件。）

I

$I$

I

$I$

i = j

$i = j$

— 彼得·肖尔

抱歉，我之前的评论是虚假的，似乎我比我想像的还要困惑。为什么问题中的要求迫使您答案中第二个等式的左侧为0 mod 2？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

现在我明白你的意思了。您不必删除第一行和第一列。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Etsch：我想的时候，我写。我认为现在是正确的。

M

$M$

M_{1, 2, 3}^{1, 2, 3}

$M^{1,2,3}_{1,2,3}$

— Peter Shor