一次编程的线性编程解决方案，带有有序变量

我遇到了一系列线性编程问题：最大化 $c' x$ 服从 $A x\le b$， $x\ge0$。的要素$A$， $b$和 $c$ 是非负整数 $c$严格肯定。（$x$ 也应该是必不可少的，但我稍后会担心。）

在我的应用程序中经常会遇到系数 $A$ 和 $c$ 简化的单程算法为每种选择提供了最佳解决方案 $b$：单遍算法确定元素 $x_1,\dots,x_n$ 依次选择每个 $x_j$ 尽可能与已确定的值一致 $x_1,\dots,x_{j-1}$。在单纯形语言中，输入变量的顺序只是$x_1$ 至 $x_n$，它在之后终止 $n$脚步。与完整的单纯形相比，这节省了大量时间。

当以下列的列 $A$ 和的元素 $c$从“便宜”到“昂贵”排序。“便宜”变量是$A$ 通常具有较小的值，为此， $c$ 很大：对于 $x$ 您会获得很多输出，并且对约束的需求不是很高 $b$。因此该算法只是说“先做简单的事情”。

我的问题是： $A$ 和 $c$ 可以向我们保证，这种简化算法适用于所有 $b$？我最初的猜想是$A$ 应该在每一行中增加，但这是不正确的。

这是一些例子 $c=(1,1,1)$： $A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}$， $A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$， $A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$， $A_4=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。对于所有这些，顺序算法为的所有值提供了最佳解决方案。$b$ （通过数值实验）。 $A_3$ 是所有列排列也适用的唯一方法。 $A_1$ 和 $A_3$ 特别令人困惑，因为 $(1,1,3)$ 看起来比 $(1,3,0)$ 和 $(1,1,1)$ 比。。。更贵 $(1,0,0)$。

我将非常感谢您提供任何有关文学的指导，此类问题或任何建议。肯定还有其他情况，其中某些变量可以确定为比其他变量“便宜”，并且可以安全地首先完成。多年来，在线性编程方面已经完成了所有工作，似乎必须提出类似的建议，但我一直找不到。

对于运输问题的特殊情况，可能最著名的例子是用贪婪算法解决LP。霍夫曼（“简单线性程序”，在“ 凸性”中，《纯数学研讨会论文集》第7卷，第317-327页，1963年）证明，如果（最大化）运输问题的成本矩阵满足Monge属性（$c_{ij} + c_{kl} \geq c_{il} + c_{kj}$ 什么时候 $1 \leq i < k \leq n$， $1 \leq j < l \leq n$），然后可以像您描述的那样以贪婪的方式找到最佳解决方案。

霍夫曼（Hoffman）也有一份1985 年的调查论文（“ 成功的贪婪算法 ”），他讨论了贪婪算法为LP提供最佳解决方案的已知案例。除了上面引用的他自己的著作（他说：“ [到1963年时，已知大多数容易受到贪婪算法影响的线性编程问题都是Monge想法的特例”），他还提到了Edmonds对a的线性编程解释。拟阵的一般化和对时的讨论$A$ 是非负的。

我想会有更多的最新结果，但希望这至少可以部分回答您的问题，并为您提供一些其他方面的想法。

多亏了Spivey教授的建议，我终于找到了我认为最先进的技术：Ulrich Faigle，Alan J. Hoffman和Walter Kern，“非负Box-Greedy矩阵的表征”，SIAM J. Disc。数学。9（1996）1-6。如果上述算法为所有矩阵提供了最优解，则矩阵为“贪心”$b$。如果贪心算法在附加条件下给出最优解，则矩阵为“盒贪心”$x\le d$ 对所有人 $b$ 和所有 $d\ge0$。显然，盒子贪婪是比贪婪更强的条件。

始终假设 $c_1\ge\dots\ge c_n>0$。Faigle，Hoffman和Kern证明了$A$ 是盒子贪婪，当且仅当它没有 $k\times(k+1)$ （对于任何 $k$）形式的子矩阵 $\begin{pmatrix} r_1 & s_1 & & & \\ r_2 & & s_2 & & \\ \vdots & & & \ddots \\ r_k & & & & s_k \end{pmatrix}$ 与每个 $r_j>0$ 和 $\sum_{i:s_i>0} \frac{r_i}{s_i} > 1$。在提取子矩阵时，允许对行进行任意排列，但不允许对列进行排列，并且允许对行和列进行任意子集。因此，特别是$k=1$，每行中的非零元素 $A$ 必须不减少。

不幸的是，事实证明，虽然我仍然相信矩阵是贪婪的，但在我的问题中矩阵不是盒贪婪的。例如，在我的$A_1$上面的条件被违反，尽管这个矩阵是贪婪的，但它不是盒子贪婪的。据我所知，识别贪婪矩阵没有任何结果。

诸如此类的最简单的示例可能是分数背包问题，其中允许对项目进行分数化。这个问题（及其lp双重）可以通过按重量分配项目，按此顺序选择最长的序列（可行的方式）并将最后的项目进行细分来解决。