Questions tagged «coding-theory»

代码的数学理论,用于通信,数据压缩和密码学。

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在理论上使用纠错码
除了纠错本身以外,纠错码在理论上还有什么应用?我知道以下三个应用程序:关于硬核钻头的Goldreich-Levin定理,Trevisan的提取器构造和布尔函数硬度的放大(由Sudan-Trevisan-Vadhan撰写)。 纠错码的其他“严肃”或“娱乐”应用是什么? UPD:Reed-Solomon码的列表解码的一个有趣应用是对20个问题游戏的特定变体(以及另一个更直接的变体)的解决方案。

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良好的代码可以被线性电路解码?
我正在寻找以下类型的错误纠正代码: 恒定速率的二进制代码 可通过实现为大小为的布尔电路的解码器从一定常数的误差中解码,其中是编码长度。NO(N)O(N)O(N)ñNN 一些背景: Spielman用线性时间可编码和可解码的纠错码在对数成本RAM模型中给出了可在时间内解码的代码,也可通过尺寸的电路进行解码。O (N log N )ø (Ñ)O(N)O(N)ø (Ñ日志ñ)O(Nlog⁡N)O(N \log N) Guruswami和Indyk在线性时间可编码/可解码代码中以近乎最佳的速率进行了改进。尽管我相信它也是,但他们没有分析产生的电路复杂度。Θ (N日志ñ)Θ(Nlog⁡N)\Theta(N \log N) 提前致谢!

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没有大概率字母时,霍夫曼代码的性能如何?
为概率分布的霍夫曼代码是具有最小加权平均码字长度的前缀码,其中是的长度个codword。一个众所周知的定理是霍夫曼码每个符号的平均长度在和,其中是Shannon熵的概率分布。ppp∑piℓi∑piℓi\sum p_i \ell_iℓiℓi\ell_iiiiH(p)H(p)H(p)H(p)+1H(p)+1H(p)+1H(p)=−∑ipilog2piH(p)=−∑ipilog2⁡piH(p) = -\sum_i \, p_i \log_2 p_i 典型的平均长度超过Shannon熵几乎为1的坏例子是概率分布,例如,其中熵接近0,平均码字长度为1。这给出了熵与码字长度之间的差距几乎为。{.999,.001}{.999,.001}\{.999, .001\}111 但是,当概率分布中的最大概率有界时,会发生什么?例如,假设所有概率均小于。在这种情况下,我可以找到的最大差距是概率分布,例如,其中熵略大于1,平均码字长度略小于1.5,从而得出差距接近。这是您能做到的最好的吗?在这种情况下,您能否给间隙的上限严格小于1?1212\frac{1}{2}{.499,.499,.002}{.499,.499,.002}\{.499, .499, .002\}0.50.50.5 现在,让我们考虑所有概率都非常小的情况。假设你选择了一个概率分布的字母,每个都具有概率。在这种情况下,如果选择则会出现最大的间隙。在这里,您得到大约 在所有概率都小的情况下,这是您能做的最好的吗?MMM1/M1/M1/MM≈2kln2M≈2kln⁡2M \approx 2^k \ln 21+lnln2−ln2ln2≈0.08607.1+ln⁡ln⁡2−ln⁡2ln⁡2≈0.08607. \frac{1 + \ln \ln 2 - \ln 2}{\ln 2} \approx 0.08607. 这个问题是受TCS Stackexchange问​​题启发的。

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为什么霍夫曼编码可以消除Lempel-Ziv不能消除的熵?
流行的DEFLATE算法在Lempel-Ziv的顶部使用霍夫曼编码。 通常,如果我们有一个随机的数据源(= 1位熵/位),那么包括霍夫曼在内的任何编码都不可能平均地对其进行压缩。如果Lempel-Ziv是“完美的”(随着长度的增长,它对于大多数类型的信号源都接近无穷大),那么用霍夫曼进行后期编码将无济于事。当然,Lempel-Ziv 并不完美,至少长度有限,因此仍然存在一些冗余。 霍夫曼编码部分地消除了这种剩余的冗余,从而改善了压缩。 我的问题是:为什么通过Huffman编码而不是LZ成功消除了剩余的冗余?霍夫曼与LZ的哪些属性使这种情况发生?再次运行LZ(即第二次使用LZ编码LZ压缩数据)是否会实现类似的效果?如果没有,为什么不呢?同样,首先使用Huffman进行压缩,然后使用LZ进行压缩,如果不能,为什么? 更新: 很明显,即使在LZ之后,也会保留一些冗余。有几个人指出了这一点。尚不清楚的是:为什么霍夫曼要比LZ更好地解决剩余冗余问题?与原始的源冗余(LZ比Huffman更好)相比,它有什么独特之处?

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在一般位置构造向量
让真正的 (ķ ≤ ñ)矩阵一个具有这样的特性的任何集合ķ列满秩。k × nk×nk\times nķ ≤ Ñk≤nk\le n一种A{\bf A}ķkk 问:是否有一种有效的方法来确定性地找到向量,使得增广矩阵A ' = [ A一种a{\bf a}保留与 A相同的属性:任何 k列均是完整列。A′=[Aa]A′=[Aa]{\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]AA{\bf A}kkk 相关说明:具有此属性的矩阵是 Reed-Solomon代码的生成器:添加保留其Vandermonde结构的列将保留rank属性。(n,k)(n,k)(n,k)

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基质填充的溶解度
矩阵维数为n × n (n − 1 )。我们要使用介于1和n之间(包括1和n)的整数来填充A。一种AAn × n (n − 1 )n×n(n−1)n \times n(n-1)一种AA1个11ñnn 要求: 每一列都是1 ,… ,n的排列。一种AA1 ,… ,n1,…,n1, \dots, n 由两行组成的任何子矩阵不能具有相同的列。一种AA 题: 是否可以填充满足要求的矩阵? 与密码学的关系: 每个行号对应一个纯文本。每列对应一个键。由于键定义了注入,因此每一列都必须是一个排列。第二个要求是对两个消息完全保密。

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布尔错误校正码
是否有任何已知的线性纠错码构造ECC:Fnq→FmqECC:Fqn→Fqm\mathsf{ECC}:\mathbb{F}_q^n \to \mathbb{F}_q^m(以合理的参数),以使得给定的一个布尔矢量时v∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^n,它也返回一个布尔矢量p?(尽管超过FqFq\mathbb{F}_q) v ∈ { 0 ,1 } Ñ εPr[ECC(v)∈{0,1}m]>1−ϵPr[ECC(v)∈{0,1}m]>1−ϵ\Pr[\mathsf{ECC}(v) \in \{0,1\}^m]>1-\epsilonv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^nϵϵ\epsilon 如果不是,将条件放宽到 其中返回第个坐标怎么办? 的,是任意小,并且概率取两者上均匀选择且均匀地选择坐标。Ë Ç Ç我我Ê Ç Ç ε v ∈ { 0 ,1 } Ñ我∈ [ 米]Pr[ECCi(v)∈{0,1}]>1−ϵPr[ECCi(v)∈{0,1}]>1−ϵ\Pr[\mathsf{ECC}_i(v) \in \{0,1\}]> 1-\epsilonECCiECCi\mathsf{ECC}_iiiiECCECC\mathsf{ECC}ϵϵ\epsilonv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^ni∈[m]i∈[m]i\in[m]

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网络编码调查
我想开始学习网络编码: http://en.wikipedia.org/wiki/Network_coding 您是否知道关于上述主题的任何良好调查(例如,来自IEEE调查和指南)。我在Google上找到了一些大学课程,但我希望得到已经阅读并知道好的参考资料的人的一些建议。 谢谢瓦西里斯

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