布尔错误校正码

是否有任何已知的线性纠错码构造 $\mathsf{ECC}:\mathbb{F}_q^n \to \mathbb{F}_q^m$ （以合理的参数），以使得给定的一个布尔矢量时 $v\in \{0,1\}^n$ ，它也返回一个布尔矢量p？（尽管超过 $\mathbb{F}_q$ ）

$\Pr[\mathsf{ECC}(v) \in \{0,1\}^m]>1-\epsilon$ $v\in \{0,1\}^n$ $\epsilon$

如果不是，将条件放宽到其中返回第个坐标怎么办？的，是任意小，并且概率取两者上均匀选择且均匀地选择坐标。

Pr [{E C C}_{i} (v) \in {0, 1}] > 1 - ϵ

$\Pr[\mathsf{ECC}_i(v) \in \{0,1\}]> 1-\epsilon$

{E C C}_{i}

$\mathsf{ECC}_i$

i

$i$

E C C

$\mathsf{ECC}$

ϵ

$\epsilon$

v \in {0, 1}^{n}

$v\in \{0,1\}^n$

i \in [m]

$i\in[m]$

co.combinatorics linear-algebra coding-theory

出于好奇，您有什么想法吗？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

是的，我实际上有几个具有这种属性的纠错码应用程序。但是，我认为在评论范围内进行解释是不可行的。如果您有兴趣，可以通过邮件与我联系。

谢谢回复。如果它不适合发表评论，那么我可能根本没有时间去理解整个内容，因此我将保持原样。谢谢！

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

是。例如，里德-所罗门码包含作为子码的作为二进制线性码的BCH码。这些称为子字段子代码。

— 马赫迪·切拉奇
source

这是否意味着在给定（在F_q中为线性）的Reed-Solomon代码的情况下，在给定二进制输入的情况下，该代码将返回二进制代码字的概率为1？能否请您引导我到一些纸/调查中，使我可以更详细地了解该物业？我对编码理论有点陌生。谢谢！

阅读有关二进制BCH代码的最佳参考书是MacWilliams和Sloane撰写的经典教科书“纠错码理论”，以及van Lint的“编码理论简介”。

— Mahdi Cheraghchi 2012年

@TomGur：我不确定BCH代码是否符合您的要求。在某种程度上，答案取决于您希望解码器为任务付出多少计算量。“现货”解码器是有界距离解码器，只能校正到唯一的可解码性限制（小于最小距离的一半）。对于BCH码，二进制空间的不可忽略部分超出范围，并且将导致解码器错误。除非您明确指定解码算法，否则仅拥有代码是不够的（并非所有ECC都有一种有效的已知算法）。

— Jyrki Lahtonen 2012年