基质填充的溶解度

矩阵维数为。我们要使用介于和之间（包括和整数来填充 $A$ $n \times n(n-1)$ $A$ $1$ $n$

要求：

每一列都是的排列。 $A$ $1, \dots, n$
由两行组成的任何子矩阵不能具有相同的列。 $A$

题：

是否可以填充满足要求的矩阵？

与密码学的关系：

每个行号对应一个纯文本。每列对应一个键。由于键定义了注入，因此每一列都必须是一个排列。第二个要求是对两个消息完全保密。

co.combinatorics cr.crypto-security coding-theory

— 赛克
source

假设您已经用cr.crypto-security标记了它，那么如果您可以声明它与加密/安全性之间的关系，它将改善这个问题。

— 戴夫·克拉克

简单观察：存在n≤4的矩阵。对于n≤3，采用所有排列。对于n = 4，唯一的解决方案是采用所有偶数排列或所有奇数排列。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

谢谢，伊藤其实我想出答案时

手。但是，事情变得更加困难，当

。发生指数爆炸。

n \leq 4

$n \leq 4$

n \geq 5

$n \geq 5$

— Cyker

（1）我认为该问题与编码理论有关，并将其添加为标签。（2）另一个观察结果：问题也可以陈述如下。找出大小为n×（n ^ 2）的矩阵B，使得B的前n列中的每一个都是相同数目的n个重复，并且B满足问题中的条件2。如果存在这样的B，则B的最后n（n-1）列中的每一个都必须是一个排列。相反地，满足条件1和2的任何矩阵A可以通过n表示列附着到左A的转换为矩阵B

— 刚伊藤

Answers:

刚，在您的评论中非常棒！我认为这几乎可以解决问题。

考虑以下两个问题

是否存在长度为行，这样在任何列中都没有数字出现两次，并且对于每一对行，列给出的所有有序对都是不同的？ $k$ $n(n-1)$
是否存在长度为行，以便对于每一对行，列给出的所有有序对都是不同的？ $k$ $n^2$

Tsuyoshi在他的评论中的观察表明，如果您可以为问题（1）达到某个值，则可以为问题（2）获得相同的值。现在我们表明，如果我们可以为问题（2）获得某个值，我们就可以为问题（1）获得值。因此，这两个问题的答案几乎相同。 $k$ $k$ $k$ $k-1$

$1$ $n$ $\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$ $k-1$ $n$ $k-1$

$k$ $n^2$ $k-2$ $3$ $4$ $\ldots$ $k$ $j$ $i$ $j$ $i$

$n$ $n$ $n-2$ $n$ $n=6$ $k$ $k=\Omega(n^c)$ $c$ $1$

$n=6$ $k$ $6\times 6$ $n=10$ $k=4$

— 彼得·索尔
source

n - 2

$n - 2$

n

$n$

n - 1

$n - 1$

n

$n$

n

$n$

n - 1

$n - 1$

n = 6

$n = 6$

这是一个非常好的连接。感谢你的回答！一个小要点：根据Wikipedia的知识，已知存在n-1个正交的拉丁方阵，用于n个素数幂，而不仅仅是n个素数。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi-糟糕。我知道; 我只是说错了。构造来自有限域。感谢您的更正。立即修复。

— 彼得·索尔

我猜是这样。:)

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

这是部分解决方案。如果n是素数幂，则存在这样的矩阵。

令F为n阶的有限域。我们构建Ñ × Ñ（Ñ -1）矩阵，它的行由被标记为˚F，其列由（被标记˚F ∖{0}）× ˚F，和其条目是在˚F如下：我的行第标记为（a，b）的列由ai + b给出。换句话说，每一列对应于F中的一阶多项式。然后每一列包含F的每个元素正好一次，并且没有两列在同一行中有相等的条目，因为两个不同的一阶多项式的值最多只能重合一个点。

（如果你想有一个矩阵，其项在{1，...，ñ }而不是˚F，取代的元素˚F与{1，...，ñ }随意。）

— 伊藤刚
source

n + 1

$n + 1$

@Artem：特别是考虑到彼得将这个问题与正交的拉丁方联系起来的答案，可能会有。（免责声明：在我的非专家看来，正交的拉丁方格，MUB，组合设计，单一设计和SIC-POVM几乎是无法区分的。）

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito

非常感谢，伊藤！这个设计看起来真的很漂亮！

— Cyker