在一般位置构造向量

让真正的（）矩阵具有这样的特性的任何集合列满秩。 $k\times n$ $k\le n$ ${\bf A}$ $k$

问：是否有一种有效的方法来确定性地找到向量，使得增广矩阵 ${\bf a}$ 保留与相同的属性：任何列均是完整列。 ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ ${\bf A}$ $k$

相关说明：具有此属性的矩阵是 Reed-Solomon代码的生成器：添加保留其Vandermonde结构的列将保留rank属性。 $(n,k)$

ds.algorithms linear-algebra matrices coding-theory

— 迪米特里斯
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我不确定我是否理解你的意思。我需要

，

是不是一个问题。

k \leq n

$k\le n$

k = n

$k=n$

— Dimitris

@Jɛﬀ E k不变：在k = n的情况下，（现在）n + 1列中只有n个需要排名。在这种情况下，问题应该很容易：找到矩阵对R ^ n的正交基的仿射变换，然后让a为向量，该向量在其下的图像为全1s向量。

— Suresh Venkat 2012年

在我看来，这应该是通过Grassmanian实现此目的的一种方法，但我不太清楚如何做。

— Suresh Venkat'4

@Suresh的确是这样，对于n = k + 1的情况，它似乎可以用您提到的方式解决。或者你可以简单地选择

要在所有的零空间

，

a

${\bf a}$

k

$k$

向量-collections。

(k - 1)

$(k-1)$

— Dimitris

好问题。听起来像是验证受限等距属性的问题的较弱版本，据我所知，该属性是敞开的。

— Sasho Nikolov

如果选择从所述超立方体均匀地随机，矩阵 $\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ 将与概率所需特性。 $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— 杰夫斯
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我只能同意:)。当您要检查这样的向量是否起作用时（不管它是否起作用），问题就来了。您必须检查

列的子集。当您考虑（固定顺序的）有限域时，这种检查问题变得更加重要，但我试图避免谈论它们。

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

— Dimitris

这个问题特别要求一种有效的确定性算法。如果您回答了一些相关问题，但不满足问题中提出的条件，那么我认为您应该明确地这么说。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@TsuyoshiIto什么，你不喜欢小猫？:)

— Suresh Venkat 2012年

@Suresh：实际上，如果我的计算机突然变成小猫，那将很有趣。但从理论上讲，首先您必须定义一只小猫。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

O (2^{k})

$O(2^k)$