寻找线性方程组的最稀疏解

13

找到线性方程组最稀疏的解决方案有多难？

更正式地，请考虑以下决策问题：

实例：具有整数系数和数字的线性方程组 $c$ 。

问题：是否存在至少将 $c$ 变量分配为零的系统解决方案？

我还试图确定对的依赖 $c$ 。也就是说，可能问题是参数 FPT $c$ 。

任何想法或参考都非常感谢。

— 迈克尔·韦哈
source

12

考虑最大化环的满足线性方程组数量的问题，这通常是NP-困难的，例如在的情况下 $\text{MAX-LIN}(R)$ $R$ $R=\mathbb{Z}$

以这个问题为例，，其中是矩阵。让。构造一个新的线性系统，其中是矩阵，现在是一个维向量，和 $Ax=b$ $A$ $n\times m$ $k=m+1$ $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ $\tilde{A}$ $kn \times (kn+m)$ $\tilde{x}$ $(kn+m)$ $\tilde{b}$ 是维向量： $kn$

其中是单位矩阵。

\tilde{A} = [\begin{matrix} A & I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ ⋱ & ⋱ \\ I_{n} & - I_{n} \end{matrix}], \tilde{b} = [\begin{matrix} b \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} A & I_n & & & \\ & I_n & -I_n & & \\ & & I_n & -I_n & \\ & & & \ddots &\ddots \\ & & & & I_n & -I_n \\ \end{bmatrix}, \tilde{b} = \begin{bmatrix} b \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$

I_{n}

$I_n$

n \times n

$n \times n$

注意，该系统总是被满足矢量。事实上，第一的条目可以是任意的，并且没有与该前缀一些解向量。 $\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$ $m$ $\tilde{x}$

我现在声称方程的分数是满足的当且仅当存在的稀疏溶液，其具有至少零。这是因为每一个满意行的产率电位为零时被扩展为 $\delta$ $Ax=b$ $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta nk$ $Ax=b$ $k$ $x$ $\tilde{x}$

因此，如果发现最稀疏解到的稀疏，我们还最大化，由通过将稀疏。 $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta$ $k$

因此，我相信您的问题是NP难题。

— 乔·贝贝尔
source

1

凉！谢谢你的分享。那么您认为对c的依赖性如何？您认为我们可以用小于来解决它，其中是输入大小吗？

p o l y (n) \cdot (\binom{n}{c})

$poly(n) \cdot {n \choose c}$

n

$n$

— Michael Wehar 2015年

1

当然：如果假设给定元素为零，那么您可以简单地从删除这些元素以获得较低维，还可以从删除相应的列以获得。然后使用高斯消除法来确定简化系统是否可行；如果是，那么您已经找到了一个稀疏的解决方案。然后，尝试所有可能的。

c

$c$

x

$x$

x

$x$

x^{'}

$x'$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} x^{'} = b

$A' x' = b$

(\binom{n}{c})

$\binom{n}{c}$

A^{'} x^{'}

$A'x'$

— 乔·贝贝尔

1

@MichaelWehar我不知道这个问题是否是FPT

— Joe Bebel

6

通过以下问题的简化，该问题是NP完全的：给定一个具有整数项的矩阵和一个具有个项的整数向量，是否存在0-1向量且？ $m\times n$ $A$ $b$ $n$ $x$ $Ax=b$

对于向量每个坐标， $x_i$ $x$

引入新方程其中，并且 $100(n+m)$ $x_i+y_{i,k}=0$ $k=1,\ldots,100(n+m)$
引入新方程其中。 $100(n+m)$ $x_i+z_{i,k}=1$ $k=1,\ldots,100(n+m)$

此外，使用旧方程组。 $Ax=b$

当且仅当新系统具有至少变量为零的解决方案时，原始系统才存在0-1解。 $Ax=b$ $100(n+m)n$

— 高莫
source

4

这称为稀疏解向量问题，它的确是NP-hard的。

— RB
source

4

在各种设置中，此问题很难解决。如该问题的其他答案所述，问题是整数上的NP完全问题。

在信号处理中，矩阵和向量有理项，这个问题有时被称为稀疏重建问题。在这种情况下，问题是NP完全的（请参见定理1）。

在编码理论中，条目来自有限域，此问题有时称为最大似然解码问题。在这种情况下，假设指数时间假设，那么问题是NP完全的，而不是在亚指数时间内。此外，根据关于arXiv的论文的早期版本（请参见论文的版本1中的引理C.2），问题是W [1]-完全的。

— 阿根廷胡椒
source

您对W [1]-完整性的引用似乎没有“引理C.2”。

@RickyDemer他链接的论文的第1版中有一个Lemma C.2。但是，版本2似乎具有不同的标题，并且最近已更改。

— Michael Wehar 2015年

该引理使用与OP不同的参数设置。

哦，我没有意识到有更新的版本，我会看一看并相应地更新我的答案。

— argentpepper 2015年

正如我在之前的评论中提到的那样，“引理使用与OP不同的参数化”，因此即使我们假设结果是正确的（尽管已从版本2中删除），OP关于参数化复杂性的问题仍然是未解决的。