矩形的生成树数的精确公式

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该博客讨论使用计算机生成“扭曲小迷宫”并对其进行枚举。可以使用Wilson算法获得UST进行枚举，但我不记得其中有多少的公式。

原则上，矩阵树定理指出图的生成树数等于图的拉普拉斯矩阵的行列式。令为图，为邻接矩阵，为度矩阵，然后的特征值，然后： $G= (E,V)$ $A$ $D$ $\Delta = D - A$ $\lambda$

k (G) = \frac{1}{n} \prod_{k = 1}^{n - 1} λ_{k}

$k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k$

在矩形的情况下，和特征值均应采用特别简单的形式，而我找不到。 $m \times n$ $A$

矩形的生成树＃的确切公式（和渐近性）是什么？ $m \times n$

在此处输入图片说明

这是威尔逊运算法则的一个很好的例子。

graph-theory randomized-algorithms matrices tree

— 约翰·曼瓜尔
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整数序列在线百科全书确切的公式看起来不容易得出。

— 彼得·索尔

@PeterShor OEIS引用：Germain Kreweras，Complexite等人，Euleriens dans les sommes tensorielles de graphes，J。Combin。理论，B 24（1978），202-212。他和我们一样是对的吗？

— 约翰·曼格

它们覆盖了许多不同的对象，包括四边形平面仪，即网格。

m \times n

$m \times n$

— 彼得·索尔

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根据http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0004341v1.pdf，该数字渐近（对于和都很大）到，其中但我不确定这是严格约束还是基于启发式物理推理的结果。当固定为一个小常数且为一个大常数时，同一篇论文还给出了相似类型的渐近公式。 $n$ $m$

\exp (z_{s q} m n)

$\exp (z_{\mathrm{sq}}mn)$

z_{s q} = \frac{4}{π} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i}}{(2 i + 1)^{2}} \approx 1.16624

$z_{\mathrm{sq}}=\frac{4}{\pi}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx 1.16624$

m

$m$

n

$n$

— 大卫·埃普斯坦
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此处给出了一个精确的渐近公式，用于表示矩形中的生成树数量（以及直线多边形描述的更广泛的子图序列）：arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf（具体而言，推论2和命题13 ）

— 洛伦佐·纳伊特

再次，那是在数学物理存储库中。他们是严格证明渐近公式还是只是使用类似于物理学的ansatz推理？

— David Eppstein '18

它发表在Acta Math 185（2000）no。2，239-286。

— 洛伦佐·纳伊特

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m×n矩形图的特征值可用于获取此类图中的完美匹配数的表达式。请参阅有关多米诺骨牌的Wikipedia文章。

— 泰森·威廉姆斯
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这很有趣，但是您能详细说明一下如何解决这个问题吗？在这种特殊情况下，完美匹配和生成树之间是否存在某种映射？

— 2015年