计算矩形矩阵秩的最快算法是什么？

给定一个矩阵（假设米≥ Ñ），什么是最快的算法来计算其列秩和依据？$m \times n$$m \ge n$

我知道它可以通过线性拟阵相交，这意味着一个来解决时间确定性算法和ø （米Ñ ω - 1）时间随机化算法。是否有一个ø （米Ñ ω - 1）时间确定性算法更直接减少的问题（或高斯消元），以矩阵乘法？$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

你可以把一个 -矩阵成梯形形式在时间 Ö （Ñ ω + ε）为任何ε > 0。参见Bürgisser，克劳森，Shokrollahi的书“代数复杂性理论”第16.5节。$2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

现在，您将此过程次应用于m × n-矩阵。这得到一种算法ø （米Ñ ω - 1）的算术运算。$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

如果将矩阵引入梯形形式，则此后它将包含大小为n × n的零矩阵。取剩下的n × n-矩阵，为输入矩阵添加一个新的n × n -block，并将其转换为梯形形式，依此类推。$2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$

我们可以计算出 $m \times n$ 矩阵A输入 $\tilde{O}(\textrm{nnz}(A) + r^{\omega})$ 时间，地点 $\textrm{nnz}(A)$ 是中的非零条目数 $A$ 和 $r$ 是的等级 $A$。这来自于Cheung等人的定理1.1。等 [CKL'13]和二进制搜索$r$。这比$O(mn^{\omega-1})$ 上面提到的算法。