等级与近似等级之间的最大差距是多少？

我们知道，0-1矩阵的秩的对数是确定性通信复杂性的下限，而近似秩的对数是随机通信复杂性的下限。确定性通信复杂度与随机通信复杂度之间的最大差距是指数级的。那么布尔矩阵的秩和近似秩之间的差距又如何呢？

— ao
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矩阵的“近似秩”是多少？

— Suresh Venkat

的

ϵ

$\epsilon$ 的布尔矩阵的秩-approximate

M

$M$ 是一个真正的矩阵的最小等级

A

$A$ 从不同

M

$M$ 由至多

ϵ

$\epsilon$ 在任何条目（参见Buhrman和2001狼“由多项式通信复杂度下限”）。编辑问题以解释这个问题（如果它是所需的定义）并描述

的作用将很有帮助

ϵ

$\epsilon$ （因为等级差异显然取决于

ϵ

$\epsilon$ ）。

— mjqxxxx 2011年

首先，我将提供一些背景知识并定义大概的排名。Lee和Schraibman Lower Bounds最近关于沟通复杂性的调查是一个很好的参考。

$A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$

当，定义 $\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$ 。

Krause的结果表明其中和是的有界错误私人硬币通信复杂错误由上界。 $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

以上是背景。现在回答这个问题，大小床和西蒙显示，完全刻画的无限错误通信复杂。他们还表明，这与实现布尔矩阵（其通信矩阵为的布置的最小尺寸一致。等式函数的无穷大通信复杂度为。记住这一点。 $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$

相等性的通信矩阵只是身份，即一个具有行和列且对角线均为1 的布尔矩阵。让我们用。阿隆（Alon）证明紧跟一个对数因子（根据Krause的定理，我们得出）。 $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

单位矩阵具有全秩，即。因此，对于和，我们有指数级的分隔。 $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— 马科斯·维拉格拉
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谢谢。但是我的问题是和是否存在超指数间隙，其中而不是。

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— pyao

啊，我明白了，但这不是问题中写的。据我所知，最大的差距是指数。

— Marcos Villagra

Marcos为您提供了一个参考，显示和之间的差距为。当矩阵的大小为时，怎么会有超指数间隙？

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov

您是说而不是的差距？

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— Sasho Nikolov

Sasho使得一个好点，你的意思是用“超指数对于任何通信问题，矩阵始终是在什么？。

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

— 马科斯维里亚格拉