成员资格的复杂性-有限的阿贝尔群的测试

考虑以下阿贝尔亚组成员资格测试问题。

输入：

具有任意大的有限阿贝尔群并具有任意大的。 $G=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}$ $d_i$

子组的生成集。 $\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbrace$ $H\subset G$

的元素。 $b\in G$

输出：如果 'yes'，其他地方为'no'。 $b\in H$

问题：可以在传统计算机中有效解决此问题吗？如果在传统图灵机的通常意义上使用时间和内存资源，我认为该算法有效。注意，对于任何子组，我们都可以假设。此问题的输入大小为。 $O(\text{polylog}|G|)$ $n= O(\log|G|)$ $H$ $\lceil \log|G|\rceil$

有点动力。从直觉上看，似乎可以使用算法来解决同余线性系统或线性双色子方程组（请参阅下文）。但是，似乎在使用整数进行计算时会使用不同的计算效率概念，例如：强多项式时间与弱多项式时间，代数与位复杂度。我不是这些定义的专家，我找不到明显解决此问题的参考。

更新：问题的答案是“是”。

在一个较晚的答案中，我提出了一种基于史密斯范式的方法，该方法对于具有规定格式的任何组都是有效的。

Blondin的答案表明，在所有都为且的形式的特殊情况下是“微小整数”，那么问题就属于。微小的整数随输入大小呈指数减小。 $d_i$ $d_i= N_i^{e_i}$ $N_i, e_i$ $\text{NC}^3\subset \text{P}$ $O(\log\log|A|)$

在我的回答中，我使用“正交子组”来解决此问题，但是我认为这不是必需的。将来，我将基于我正在阅读的连续梯形表格方法，尝试提供更直接的答案。

一些可能的方法

该问题与求解全等线性系统和/或线性双色子方程密切相关。为了简单起见，我简要总结了这些连接。

以为矩阵，其生成集的元素。以下方程组 $A$ $\lbrace h_1, \ldots, h_n \rbrace$

A x^{T} = (\begin{matrix} h_{1} (1) & h_{2} (1) & \dots & h_{n} (1) \\ h_{1} (2) & h_{2} (2) & \dots & h_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ h_{1} (m) & h_{2} (m) & \dots & h_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix}

$Ax^{T}= \begin{pmatrix} h_1(1) & h_2(1) & \ldots & h_n(1)\\ h_1(2) & h_2(2) & \ldots & h_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ h_1(m) & h_2(m) & \ldots & h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix}$

当且仅当有一个解。 $b\in H$

如果所有循环因子都具有相同的维数，则存在一种基于Smith范式的算法，可以解决多项式时间内的问题。在这种情况下，[1]中的高效算法找到了的史密斯范式：它返回对角矩阵以及两个可逆矩阵和，使得。这减少了解决具有对角线的等效系统。我们可以有效地决定系统是否具有使用欧几里得算法的解决方案。 $d=d_i$ $A$ $D$ $U$ $V$ $D=UAV$ $DY=Ub \mod d$ $D$

上面的示例表明，在一般情况下，可以使用类似的技术有效地解决问题。我们可以尝试将系统求解为模块化运算，或者将系统转换为更大的线性双色子方程组。解决我能想到的问题的一些可能技术是：

计算的Smith范式。 $A$
计算的行梯形形式。 $A$
整数高斯消除。

— Juan Bermejo Vega
source

：同时crossposted上MO mathoverflow.net/questions/81300/...

— 苏雷什Venkat

看来您同时提出了这个问题。虽然我们不介意被质疑转贴，我们网站的政策是允许重新发布后才有足够的时间已经过去了，你没有在其他地方获得所需的答案，因为同时crossposting复制努力和骨折的讨论。您可以将该问题标记为立即关闭，然后在总结其他站点的相关讨论之后，如有必要，将其标记为打开。

— Suresh Venkat

应原始海报要求关闭（由于在MO上重复）。

— 戴夫·克拉克

我在帖子关闭之前发布了答案。我认为，此问题比Mathoverflow更适合此处，因为在复杂性理论文献中对此问题进行了广泛的研究。

— 迈克尔·布朗丹

根据OP请求重新开放；专注于复杂性使其非常适合这里。

— Suresh Venkat

Answers:

验证（其中是根据OP的注释的向量）是否等效于验证此系统是否存在解决方案： $b \in \langle h_1, \ldots, h_n\rangle$ $h_i$

(\begin{matrix} h_{1} (1) & \dots & h_{n} (1) & d_{1}^{e_{1}} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ h_{1} (m) & \dots & h_{n} (m) & 0 & 0 & \dots & d_{m}^{e_{N}} \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ ⋮ \\ x (n) \\ y (1) \\ ⋮ \\ y (m) \end{matrix}) \equiv (\begin{matrix} b (1) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} h_{1}(1) & \cdots & h_{n}(1) & d_1^{e_1} & 0 & \cdots & 0 \\\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\ h_{1}(m) & \cdots & h_{n}(m) & 0 & 0 & \cdots & d_m^{e_N} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1) \\\\ \vdots \\\\ x(n) \\\\ y(1) \\\\ \vdots \\\\ y(m) \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} b(1) \\\\ \vdots \\\\ b(m) \end{pmatrix}$

在您的情况下，是很小的数字（即，它们的值在输入大小中为对数）。不幸的是，似乎我们不能假设很小。 $e_1, \ldots, e_N$ $d_1, \ldots, d_n$

如果是这样，则可以从McKenzie＆Cook [1]的结果中找到系统的解决方案。本文表明，在以小因子（LCON）为模来求解线性同余。此外，此问题是等效于阿贝尔排列组成员资格问题（AGM）。麦肯齐的博士论文完全致力于这些问题[1]。最近，Arvind＆Vijayaraghavan [3]考虑了这些问题。 $\text{NC}^3$ $\text{NC}^3$ $\text{NC}^1$

[1] Pierre McKenzie和Stephen A. Cook。Abelian置换群问题的并行复杂性。1987年。

[2]皮埃尔·麦肯齐（Pierre McKenzie）。并行复杂度和排列组。1984年。

[3] V. Arvind和TC Vijayaraghavan。使用Logspace计数类对线性同余和Abelian置换组的问题进行分类。2010。

— 迈克尔·布朗丁
source

谢谢，不幸的是，直到星期一我才可以查阅这些论文。令我惊讶的是，这种方法适用于任何阿贝尔族。对于，确定是否属于涉及确定是否具有解。我在这里看到两个问题：1）传统上很难计算Euler上的函数2）它是离散对数的决策版本。如果给出循环分解，问题将减少到求解模方程。您如何解决这个问题？我在这里错过了重要的事情吗？

Z_{N}^{*}

$Z_N^*$

b

$b$

⟨ a ⟩

$\langle a \rangle$

b = a^{i} \mod φ (N)

$b=a^i\mod \varphi(N)$

— Juan Bermejo Vega

实际上，它适用于任何阿贝尔排列组合。

— 迈克尔·布朗丹

我将看一下这些论文，并尝试对所有内容进行整理。谢谢。

— Juan Bermejo Vega

您能否提供有关输入编码的更多详细信息？这样，我也许可以改善答案。

— 迈克尔·布朗丹

作为输入的组分解作为输入（这些是具有多个数字和我猜的长度）。这样，组中的每个元素都具有的形式并且可以由一个数字元组表示。要存储它，您需要位。这会回答吗？

A = Z_{d_{1}} \times Z_{d_{1}} \dots \times Z_{d_{N}}

$A=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_N}$

(g_{1}, \dots, g_{n})

$(g_1,\ldots,g_n)$

n := ⌈ l o g_{2} | A | ⌉

$n:= \lceil log_2 |A|\rceil$

— Juan Bermejo Vega

一段时间后，我设法找到了一个也许不是最佳但简单的算法，证明了问题的复杂性是多项式。

算法

（a）所述正交子组的计算发电集的。 $H^{\perp}$ $H$

（b）检查元素是否正交于。 $b$ $H^{\perp}$

对于问题（a）和（b）有有效的分类算法（请参阅下面的分析）。这提供了有效的隶属度测试，因为当且仅当元素与正交。 $b$ $H^\perp$ $h\in H$

分析

通过的字符组将正交子组定义为：主要属性： $H^{\perp}$ $G$

H^{⊥} := {g \in G : χ_{g} (h) = 1 \forall h \in H}

$H^{\perp}:= \{g\in G : \chi_g(h)=1\quad \forall h\in H \}$

$H^{\perp}$ 是的子组。 $G$
$H^{\perp^\perp}=H$

（a）的算法：

我遵循[ 1 ]中的算法，并做了些微改动。属于，当且仅当对于所有，但是，通过线性它是足以显示对于每个生成器。根据指数扩展字符（这里我隐式使用循环因子分解），此条件等效于解这些方程，请计算使用欧几里得算法和数字 $g$ $H^{\perp}$ $\chi_{g}(h)=1$ $h\in H$ $\chi_{b}(h_i)=1$ $H$

\begin{array}{rcl} \exp {2 π i (\frac{g (1) h_{i} (1)}{d_{1}} + \dots + \frac{g (m) h_{i} (m)}{d_{m}})} = 1 \end{array}

$\begin{eqnarray} \exp \left\lbrace 2\pi i \left( \frac{g(1)h_{i}(1)}{d_1}+\ldots + \frac{g(m) h_{i}(m)}{d_m} \right) \right\rbrace=1 \end{eqnarray}$

M := lcm (N_{1}, \dots, N_{d})

$M:= \text{lcm}(N_1,\ldots,N_d)$

α_{i} := M / d_{i}

$\alpha_i:=M/d_i$ 。我们可以将上述每个的条件重写为线性模块化方程组。

i

$i$

(\begin{matrix} α_{1} h_{1} (1) & α_{2} h_{1} (2) & \dots & α_{m} h_{1} (m) \\ α_{1} h_{2} (1) & α_{2} h_{2} (2) & \dots & α_{m} h_{2} (m) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ α_{1} h_{n} (1) & α_{2} h_{n} (2) & \dots & α_{m} h_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} g (1) \\ g (2) \\ ⋮ \\ g (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) \begin{matrix} \mod M \\ \mod M \\ ⋮ \\ \mod M \end{matrix}

$\begin{pmatrix} \alpha_1 h_1(1) & \alpha_2 h_1(2) & \ldots & \alpha_m h_1(m)\\ \alpha_1 h_2(1) & \alpha_2 h_2(2) & \ldots & \alpha_m h_2(m)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ \alpha_1 h_n(1) & \alpha_2 h_n(2) & \ldots & \alpha_m h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g(1)\\ g(2)\\ \vdots\\ g(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod M\\ \mod M\\ \vdots\\ \mod M \end{matrix}$ 正如在1中所证明的，如果我们采样该系统的随机解在方程组中，我们将获得的生成集，其概率指数地接近一个。

t + ⌈ \log | G | ⌉

$t+\lceil\log|G|\rceil$

H^{⊥}

$H^{\perp}$

p \geq 1 - 1 / 2^{t}

$p\geq 1 -1/2^{t}$

A X = 0 (\mod M)

$AX=0 \pmod M$ 。在此，是一个整数模的矩形矩阵，对于该矩阵，采用2中给出的算法可以有效地计算其Smith正态分解。该算法返回对角矩阵和两个可逆矩阵，，使得。使用该公式，方程组可以写为其中。现在可以使用Euclid算法随机计算的解，因为这是形式的方程组。最后，计算

A

$A$

M

$M$

D

$D$

U

$U$

V

$V$

D = U A V

$D=UAV$

D Y = 0 (\mod M)

$DY=0 \pmod M$

X = V Y

$X=VY$

D Y = 0 (\mod M)

$DY=0\pmod M$

d_{i} y_{i} = 0 (\mod M)

$d_i y_i =0 \pmod M$

X = V Y

$X=VY$ 根据需要获得正交组的随机元素。

H^{⊥}

$H^{\perp}$

（b）的算法：

既然我们已经知道如何计算发电集的，很容易检查，如果给定元素属于。首先计算生成集的。然后，通过定义，属于当且仅当对于所有的发电机。由于它们有O（polylog（））个数，因此可以使用模块化算法高效地完成。 $H^{\perp}$ $b$ $H$ $\langle g_1,\ldots, g_s \rangle$ $H^{\perp}$ $b$ $H$ $\chi_{b}(g_i)=1$ $H^{\perp}$ $|G|$

— 胡安·贝梅霍·维加
source

如果您同时发现了发现，可以添加自己的答案。但是，在决定接受哪个答案之前，您似乎需要做一些进一步的调查（基于您的评论）。

— Suresh Venkat

谢谢。我想进一步讨论一下，看看我们是否将所有内容合而为一。另外，我认为可能会出现一种更实用的算法。

— Juan Bermejo Vega