使用最少加法的矩阵矢量乘法算法

考虑以下问题：

给定一个矩阵 ，我们要优化计算乘法算法加法的次数v ↦ 中号v。$M$$v \mapsto Mv$

我发现此问题很有趣，因为它与矩阵乘法的复杂性有关（此问题是矩阵乘法的受限版本）。

对这个问题有什么了解？

是否有任何有趣的结果将此问题与矩阵乘法问题的复杂性联系起来？

该问题的答案似乎涉及找到仅具有加法门的电路。如果我们允许减法门怎么办？

我正在寻找这个问题和其他问题之间的减少。

动机

• 0-1矩阵向量乘法的自动优化
• 细粒度复杂性理论中这些假设之间有什么关系？

从本质上讲，这是促使Valiant将矩阵刚度引入复杂度的问题（据我了解的历史）。

线性电路是一个代数电路，其唯一的门是两输入线性组合门。每个线性变换（矩阵）都可以由一个平方大小的线性电路来计算，问题是什么时候可以做得更好。众所周知，对于随机矩阵，不能做得更好。

某些矩阵（例如傅立叶变换矩阵，低秩矩阵或稀疏矩阵）可以做得更好。

不能通过同时具有线性大小和对数深度（有效值）的线性电路来计算足够刚性的矩阵，但是到目前为止，还没有明确的矩阵可以知道线性电路的大小具有超线性下限。

我不记得看到结果说很难为给定矩阵计算最小线性电路的大小，但是如果它是NP-hard，我不会感到惊讶。

$M$

• $\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$$M$$n\times n$$d$

• $\Omega(n^{4/3})$$M$$n\times n$$d$

• $\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$$M$$n\times n$$d$

这些界限基本上都是最好的。请参阅第6.3章。在查泽尔的书中。