寻找矩阵特征分解的复杂性

我的问题很简单：

计算矩阵的本征分解的最著名算法的最坏情况下的运行时间是多少？$n \times n$

本征分解是减少到矩阵乘法还是在最坏的情况下是最著名的算法（通过SVD）？$O(n^3)$

请注意，我要求的是最坏情况的分析（仅就），而不是要求与问题相关的常数（如条件编号）的范围。$n$

编辑：给出以下一些答案，让我调整一下问题：我会对近似感到满意。近似值可以是乘法，加法，逐项输入或任何您想要的合理定义。我感兴趣的是，是否存在一种比对依赖性更好的算法？$\epsilon$$n$$O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3)$

编辑2：请参见对称矩阵上的相关问题。

Ryan在mathoverflow上回答了类似的问题。这是链接：mathoverflow-answer

基本上，您可以通过计算符号行列式将特征值计算简化为矩阵乘法。这给出了O（）的运行时间，以获取位特征值。当前最好的运行时是O（），其近似值在。$n^{\omega+1}m$$m$$n^3+n^2\log^2 n\log b$$2^{-b}$

Ryan的参考是``Victor Y.Pan，Zhao Q.Chen：矩阵特征问题的复杂性。STOC 1999：507-516''。

（我相信在较老的Aho，Hopcroft和Ullman的书《计算机算法的设计和分析》中也讨论了特征值的复杂度与矩阵乘法之间的关系，但是，我没有这本书在我的面前，我无法给您确切的页码。）

查找特征值本质上是一个迭代过程：查找特征值等同于找到多项式的根。此外，Abel-Ruffini定理指出，一般而言，您不能以简单的封闭形式（即，带有如二次方程式这样的部首）来表达任意多项式的根。因此，您不能希望“精确地”计算特征值。

这意味着频谱分解算法必须是近似的。任何通用算法的运行时间都必须取决于所需的精度。它不能仅仅取决于尺寸。

我不是这方面的专家。我猜想对n的三次依赖性很好。我见过的所有算法都使用矩阵矢量乘法，而不是矩阵矩阵乘法。因此，如果全部归结为矩阵矩阵乘法，我会有些惊讶。

看看 http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_numerical_analysis_topics#Eigenvalue_algorithms

我只会给出与矩阵特征值有关的部分答案。

如前所述，有很多迭代方法可以找到矩阵的特征值（例如幂迭代），但是总的来说，找到特征值会减少找到特征多项式的根。可以在找到特征多项式，其中是位乘法的代价，是最大条目的位大小，乘以用Bareiss算法计算符号行列式。请参阅Yap关于“算法代数基础”的书，特别是Chap。10，“线性系统”。$O(n^3 M_B[n(log n + L)] )$$M_B(s)$$s$$L$

一旦找到特征多项式，就可以通过使用隔离区间找到所需的任何精确度的根。参见Yap的书，第二章。有关详细信息，请参见“ 6多项式的根”。我忘记了确切的运行时间，但忘记了它的多项式，即特征多项式的阶数和所需精度的位数。

我怀疑计算本征向量的精确度也是多项式，但是我看不到简单的算法。当然，前面已经提到过一些标准的技巧，但是据我所知，它们都不能保证多项式运行时间达到所需的精度。

您可以查看Commandur和Kale的新论文，其中提供了Max-Cut的组合算法。从粗略的阅读看，他们的算法似乎是基于组合找到与最大特征值相对应的特征向量，然后在他们拥有该特征向量后使用Luca Trevisan的算法。

看来他们正在使用Lanczos算法的替代方法来找到这样的特征向量，因此可能引起人们的兴趣。我不确定他们寻找特征向量的方法所声称的复杂性是什么，但是可能值得研究。同样，由于他们感兴趣的是近似比率而不是时间本身，因此，他们给出的任何时间边界可能都不是最佳的。

这是一个古老的问题，但似乎遗漏了一些重要的文献。

我们为某些算法提供了更强的理论支持。例如，存在基于矩阵符号函数的迭代，请参见Demmel，Dumitriu和Holtz的“快速线性代数是稳定的”。该论文表明，特征值问题可以及时解决，其中是矩阵乘法的指数，是任何。$(O^{\omega+\eta})$$\omega$$\eta$$>0$

是的，有Pan + Chen + Zheng的论文建议在BigFloat中组装特征多项式并进行计算，因为最后会损失很多精度，但是没有多少人会认为这是一种实用的方法。

我还提到最广泛使用的算法，即Francis QR迭代，无法证明通用矩阵具有收敛性。Kressner的书讨论了几个反例。

是的，几乎所有的数值线性代数都可以简化为矩阵乘法，尽管数值稳定性始终是一个问题。另外，对于诸如本征分解的问题，您应该对近似值感到满意，因为解法可能不合理。查阅Bini和Pan 撰写的《多项式和矩阵计算》一书。

这是另一个参考- 快速线性代数是稳定的 http://www.netlib.org/lapack/lawnspdf/lawn186.pdf