关于两个矩阵的问题：敏感性猜想的证明中的Hadamard诉“神奇的一个”

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最近，令人难以置信的光滑的灵敏度猜想的证明依赖于基质的显式*施工 $A_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}$ ，递归地定义如下：

A_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 并且，对于

n \geq 2

$n\geq 2$ ，

A_{n} = (\begin{matrix} A_{n - 1} & I_{n - 1} \\ I_{n - 1} & - A_{n - 1} \end{matrix})

$A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix}$ 具体地，可以很容易地看到，

A_{n}^{2} = n I_{n}

$A_n^2 = n I_n$ 所有

n \geq 1

$n\geq 1$ 。

现在，也许我对此读得太多，但这至少在语法上与另一个著名的矩阵族Hadamard矩阵有关，该矩阵也使得 $H_n^2 \propto I_n$ 且具有“相似”谱：

H_{1} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

$H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ ，并且对于

n \geq 2

$n\geq 2$ ，

H_{n} = (\begin{matrix} H_{n - 1} & H_{n - 1} \\ H_{n - 1} & - H_{n - 1} \end{matrix})

$H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix}$

两者之间是否有任何正式的联系（可能有用），只是“它们看起来模糊不清”？

例如， $A_n$ 视为超立方体的签名邻接矩阵 $\{0,1\}^n$ 有一个很好的解释（边缘的符号 $(x,b,x')\in\{0,1\}^n$ 是的奇偶前缀 $x$ ）。 $H_n$ 有类似物吗？（这可能很明显吗？）

$^*$ 我还想知道非显式结构（例如均匀随机的 $\pm1$ 矩阵）是否具有所需的光谱特性，但这可能要等待另一个问题。

boolean-functions matrices boolean-matrix

— 克莱门特C.
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观察时间太长，无法发表评论（这也与Jason Gaitonde的观察“评论太长”相吻合）：

正如OQ中所暗示的那样，这两者实际上都可以通过一种非常简单的递归构造来实现。即，我们指定 $B_0 \in \{(0), (\pm 1)\}$ （一个 $1 \times 1$ 矩阵），然后单个递归公式

B_{n} = (\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array})

$B_n = \left(\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right)$

$b_{ij}$ $\{0, \pm 1, \pm x\}$ $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ $x$ $B_{n-1}$ $A_0 = (0)$ $\begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$ $H_0 = (1)$ $\begin{bmatrix} x & x \\ x & -x \end{bmatrix}$

$B_n^2$ $I_{2^{n}}$ $b_{11} + b_{22} = 0$ $b_{12} = b_{21}=0$ $b_{11} = -b_{22}$ （这是Jason回答中的“好”条件之一）。这也可以看作是为什么两个矩阵序列都是无迹的常见解释。

$B_n$

$B_0$ $5^4$ $B_n^2$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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如果不是，也许还有其他有趣的东西潜伏在那里……听起来很有趣：)

— Clement C.

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以下是我无法发表评论的几点看法：

$H_n$ $\{0,1\}^n$ $(x,y)$ $1$ $x\odot y=(x_1y_1,\ldots,x_n y_n)$ $-1$

$M=\begin{pmatrix} A & B\\ B^T & C\end{pmatrix}$ $A_n$ $H_n$ $B^T$ $C$ $\det(M)=\det(AC-BB^T)$ $M$

det ((λ I - A) (λ I - C) - B B^{T}) = det (λ^{2} I - λ (A + C) + A C - B B^{T}) .

$\det((\lambda I-A)(\lambda I-C)-BB^T)=\det(\lambda^2I-\lambda (A+C)+AC-BB^T).$ 为此，它可以得出很好的特征值递归公式，基本上需要消除线性项。如果另外的和是对称且上下班的，我们得到从中可以轻松地从特征值中读取特征值事实对称的通勤矩阵具有共同的本征基础。这可能是显而易见的，但是所有这一切都意味着，对于本征值而言，要获得良好的递归公式，基本上必须要求右下方的块为

C = - A

$C=-A$

λ

$\lambda$

A

$A$

B

$B$

det (λ I - M) = det (λ^{2} I - (A^{2} + B^{2})),

$\det(\lambda I-M)=\det(\lambda^2 I-(A^2+B^2)),$

- A

$-A$ 并希望左下和右上块是对称的，并与下班，这对于（）和矩阵（）就是这种情况。

A

$A$

A_{n}

$A_n$

B = I

$B=I$

H_{n}

$H_n$

B = H_{n - 1} = A

$B=H_{n-1}=A$

2）关于随机符号问题：在最大化的意义上，本文给出的邻接矩阵的符号是最佳的，这对于通过柯西交错线的下限是必需的，并且可以从基本的角度来看。对于维超立方体的邻接矩阵的任意，可以立即获得其中。如果对于某些签名具有，则 $\lambda_{2^{n-1}}$ $M_n$ $n$

Tr (M_{n}) = \sum_{i = 1}^{2^{n}} λ_{i} (M_{n}) = 0, Tr (M_{n}^{2}) = \sum_{i = 1}^{2^{n}} λ_{i} (M_{n})^{2} = ‖ M_{n} ‖_{F}^{2} = n 2^{n},

$\text{Tr}(M_n)=\sum_{i=1}^{2^n} \lambda_i(M_n)=0,\quad \text{Tr}(M_n^2)=\sum_{i=1}^{2^n} \lambda_i(M_n)^2=\|M_n\|_F^2=n2^n,$

λ_{1} (M_{n}) \geq λ_{2} (M_{n}) \geq \dots \geq λ_{2^{n}} (M_{n})

$\lambda_1(M_n)\geq \lambda_2(M_n)\geq\ldots\geq \lambda_{2^n}(M_n)$

M_{n}

$M_n$

λ_{2^{n - 1}} (M_{n}) > \sqrt{n}

$\lambda_{2^{n-1}}(M_n)>\sqrt{n}$

\sum_{i = 1}^{2^{n - 1}} λ_{i} (M_{n}) > \sqrt{n} 2^{n - 1}, \sum_{i = 1}^{2^{n - 1}} λ_{i} (M_{n})^{2} > n 2^{n - 1} .

$\sum_{i=1}^{2^{n-1}} \lambda_i(M_n)>\sqrt{n}2^{n-1},\quad \sum_{i=1}^{2^{n-1}} \lambda_i(M_n)^2>n2^{n-1}.$ 然后可以看到不可能满足上面的迹线相等性：负特征值之和必须严格大于（以绝对值计），并且其平方必须严格小于比。当平方和都相等时，在保持平方和不变的同时最小化平方和，但是无论如何都会使平方和太大。因此，对于任何签名，都可以通过基本方法看到而无需了解本文中的魔术签名，当值等于，等式成立

\sqrt{n} 2^{n - 1}

$\sqrt{n}2^{n-1}$

n 2^{n - 1}

$n2^{n-1}$

λ_{2^{n - 1}} (M_{n}) \leq \sqrt{n}

$\lambda_{2^{n-1}}(M_n)\leq \sqrt{n}$

\sqrt{n}, \dots, \sqrt{n}, - \sqrt{n}, \dots, - \sqrt{n}

$\sqrt{n},\ldots,\sqrt{n},-\sqrt{n},\ldots,-\sqrt{n}$ 。确实存在这样的签名，这真是令人惊讶。正常邻接矩阵的特征值是，其中第个特征值具有多重性，所以（无论如何对我来说）这很有趣全签名使最大化，而此签名使最大化。

- n, - n + 2, \dots, n - 2, n

$-n, -n+2,\ldots,n-2,n$

i

$i$

(\binom{n}{i})

${n\choose i }$

+ 1

$+1$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2^{n - 1}}

$\lambda_{2^{n-1}}$

至于随机签名，很难说，因为我认为特征值的大多数非渐近边界都集中在频谱范数上。人们期望随机签名可以平滑极端的常用特征值，实际上，使用非可交换的Khintchine不等式和/或最近的更严格的边界（如此处所示），统一随机签名的。我很难想象中间特征值与期望中的领先特征具有相似的多项式阶数（我认为类似矩阵不同集合的半圆定律的渐近结果类似地表明），但是也许是可能的。 $\mathbb{E}[\|M_n\|_2]=\Theta(\sqrt{n})$

— JG
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