近似矩阵的符号秩

具有+ 1，-1项的矩阵A的符号秩是矩阵B的最小秩（在实数上），矩阵B与A具有相同的符号模式（即，对于所有i ，，j）。这个概念对于交流复杂性和学习理论很重要。$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

我的问题是：是否有任何已知的（次指数时间）算法将矩阵的符号秩近似为？$o(n)$

（我知道就频谱范数而言，Forster在符号秩上的下限，但这通常不会产生比更好的逼近比。）$\Omega(n)$

我相信这是一个悬而未决的问题。

Lee和Schraibman在“近似秩的近似算法”中指出，可以通过多项式时间算法将近似秩近似为一个常数因子。要做到这一点，这涉及一个半定规划量的近似级别，其中α是一些有限的参数大于1，以α为无穷大的极限产生符号秩但其结果并不在此给什么设置。$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

Alon，Moran和Yehudayoff的最新工作给出了近似算法。令d为符号矩阵S的VC维。这个想法是$O(n/\log n)$$d$$S$

• 存在一个高效计算矩阵与符号图案š使得ř 一个Ñ ķ中号= Ö （Ñ 1 - 1 / d） ;$M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• 的符号秩至少为d。$S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$