如何计算平方矩阵的幂？

假设我们给定矩阵，令。我们能以多快的速度计算该矩阵的功率？ $A \in \mathbb R^{N\times N}$ $m \in \mathbb N_0$ $A^m$

与计算乘积相比，下一个最好的事情是利用快速指数，这需要矩阵乘积。 $m$ $\mathcal O(\log m )$

对于可对角化的矩阵，可以使用特征值分解。它的自然概括，约旦分解，在插管下不稳定，因此不算在内（afaik）。

一般情况下可以加快矩阵求幂吗？

快速指数说明此问题的变体也很有用：

通用矩阵的平方 $A$ 可以比已知的矩阵乘法算法更快地计算吗？

ds.algorithms matrices na.numerical-analysis

— 舒哈洛
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如果您关心微扰下的稳定性，那么快速求幂也不是安全的。

— MCH 2012年

好吧，我认为它的安全性不亚于重复乘法，后者和标量指数一样安全，不是吗？

— shuhalo 2012年

如您所注意到的，计算可以完成乘以矩阵的矩阵乘法运算的。第二个问题的答案是否定的，至少对于渐近复杂度而言-矩阵平方和矩阵乘法具有相等的时间/算术复杂度（最多为常数）。将平方减少为矩阵乘法是显而易见的。为了减少平方的乘积，假设我们希望计算和的乘积。用块结构形成矩阵： $A^m$ $O(\log m)$ $N \times N$ $A$ $B$ $2n \times 2n$ $C$

$[0~~A]$

$[B~~0]$

也就是说，在其左上象限和右下象限中具有一个全零矩阵。注意，包含在其左上象限。 $C$ $n \times n$ $C^2$ $A\cdot B$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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我最近在cs.SE 提出了一个问题，关于在m =

的特殊情况下计算

的复杂性。给出

上限很容易，但是我可以给出的最佳下限是

。您对此问题有何评论？我认为很多有趣的问题都归结为这种特殊情况。

A^{m}

$A^m$

O (n)

$\mathcal O(n)$

O (M (n) \log (n))

$\mathcal O(M(n)\log(n))$

Ω (M (n))

$\mathcal \Omega (M(n))$

— Shitikanth'4