矩阵乘法不在

通常认为，对于所有$\epsilon > 0$，可以在O （n 2 + ϵ）时间内将两个$n \times n$矩阵相乘。一些讨论在这里。$O(n^{2 + \epsilon})$

我问过一些对研究更熟悉的人，他们是否认为存在独立于n的$k>0$，以至于存在用于矩阵乘法的O （n 2 log k n ）算法，并且他们绝大多数都具有直觉答案是“否”，但无法解释原因。也就是说，他们认为我们可以在O （n 2.001）时间内完成此操作，但不能在O （n 2 log 100 n ）时间内完成。$n$$O(n^2 \log^k n)$$O(n^{2.001})$$O(n^2 \log^{100} n)$

有什么理由相信在固定k > 0时没有$O(n^2 \log^k n)$算法？$k>0$

有用于相乘的算法$N \times N^{0.172}$矩阵与$N^{0.172} \times N$矩阵中$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$的算术运算。用于它的主标识来自铜匠的论文“矩形矩阵的快速乘法”，但对于为什么它导致解释$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$代替$N^{2 + \epsilon}$是威廉姆斯的附录中纸，“新算法和具有线性阈值门的电路的下界”。

$N \times N \times N$

好吧，一件事是，我认为我们所知道的所有构造-甚至人们已经提出的潜在构造的族（例如，科恩-乌曼斯方法，科珀史密斯-温诺格拉德的概括）-都会“简单地”产生一系列算法$A_\epsilon$在运行时间$O(n^{2+\epsilon})$$O(n^2 poly(\log n))$

$O(n^2 poly(\log n))$

Josh Alman展示了MM的一些很酷的下限结果，该结果获得了CCC 2019最佳学生论文奖！ http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2019/10834/pdf/LIPIcs-CCC-2019-12.pdf